Matura z matematyki II (A. Kiełbasa) - 107.

W okrąg o promieniu 7 wpisano czworokąt ABCD. Oblicz obwód i pole tego czworokąta, wiedząc, że $|AB|=|BC|$, $|\sphericalangle ADC|=120^o$ i stosunek pola trójkąta ABD do pole trójkąta BCD wynosi 2 : 1.

Wiemy, że jeżeli $|\sphericalangle ADC|=120^o$, a czworokąt da się wpisać w okrąg, to:

(1)
\begin{align} |\angle ABC|=180^o-|\sphericalangle ADC|=180^o-120^o=60^o \end{align}

Wiemy także, że punkty A, B, C leżą na jednym okręgu o promieniu 7 to z twierdzenia sinusów dla trójkąta ABC wiemy, że:

(2)
\begin{align} \frac{|AC|}{\sin\sphericalangle ABC}=2R \end{align}
(3)
\begin{align} |AC|=2R\cdot\sin\sphericalangle ABC=2\cdot7\cdor\sin 60^o=14\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3} \end{align}
(4)
\begin{align} |AC|=7\sqrt{3} \end{align}

Ponadto z treści zadania wiemy, że trójkąt ten jest równoramienny ($|AB|=|BC|$), zatem kąty przy boku BC są równe. Ponieważ $|\sphericalangle ABC|=60^o$ to jest to trójkąt równoboczny:

(5)
\begin{align} |AB|=|BC|=|AC|=7\sqrt{3} \end{align}

Wiemy też z treści zadanie, że:

(6)
\begin{align} \frac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\frac{2}{1}\Rightarrow S_{ABD}=2\cdot S_{BCD} \end{align}

Ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, ze:

(7)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} S_{ABD}=\frac{1}{2}|AB|\cdot |DA|\cdot\sin |\sphericalangle DAB|\\ S_{BCD}=\frac{1}{2}|BC|\cdot |CD|\cdot\sin |\sphericalangle BCD| \end{array} \right. \end{align}

Wiemy, że jeżeli czworokąt da się wpisać w okrąg, to $\sphericalangle DAB=180^o-\sphericalangle BCD$, a ze wzorów redukcyjnych $\sin\sphericalangle DAB=\sin\sphericalangle BCD$. Zatem:

(8)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} S_{ABD}=\frac{1}{2}|AB|\cdot |DA|\cdot\sin |\sphericalangle BCD|\\ S_{BCD}=\frac{1}{2}|BC|\cdot |CD|\cdot\sin |\sphericalangle BCD| \end{array} \right. \end{align}

Z treści zadania wiemy także, że $S_{ABD}=2\cdot S_{BCD}$ oraz $|AB|=|BC|$, toteż:

(9)
\begin{align} \frac{1}{2}|AB|\cdot |DA|\cdot\sin |\sphericalangle BCD|=2\cdot \frac{1}{2}|AB|\cdot |CD|\cdot\sin |\sphericalangle BCD| \end{align}
(10)
\begin{equation} |DA|=2|CD| \end{equation}

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ACD wiemy, że:

(11)
\begin{align} |AC|^2=|CD|^2+|DA|^2-2|CD|\cdot |DA|\cdot \cos|\sphericalangle ADC| \end{align}

Podstawiając dane otrzymujemy:

(12)
\begin{align} (7\sqrt{3})^2=|CD|^2+(2|CD|)^2-2|CD|\cdot (2|CD|)\cdot \cos 120^o \end{align}
(13)
\begin{align} 49\cdot3=|CD|^2+4|CD|^2-4|CD|^2\cos 120^o \end{align}

Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że $\cos120^o=-\sin30^o=-\frac{1}{2}$. Zatem:

(14)
\begin{align} 147=5|CD|^2+4|CD|^2\frac{1}{2} \end{align}
(15)
\begin{equation} 147=|CD|^2(5+2) \end{equation}
(16)
\begin{equation} 147=7|CD|^2 \end{equation}
(17)
\begin{equation} |CD|^2=21 \end{equation}
(18)
\begin{align} |CD|=\sqrt{21} \end{align}

(19)
\begin{align} |DA|=2|CD|=2\sqrt{21} \end{align}

Mamy zatem obliczone długości wszystkich czterech boków:

(20)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} |AB|=7\sqrt{3}\\ |BC|=7\sqrt{3}\\ |CD|=\sqrt{21}\\ |DA|=2\sqrt{21} \end{array} \right. \end{align}

Prosto obliczyć obwód:

(21)
\begin{align} |AB|+|BC|+|CD|+|DA|=7\sqrt{3}+7\sqrt{3}+\sqrt{21}+2\sqrt{21}=14\sqrt{3}+3\sqrt{21} \end{align}

Pole można obliczyć ze wzoru Brahmagupty, lub jako sumę pól trójkąta równobocznego ABC o znanym nam boku oraz trójkąta ACD, gdzie znamy wszystkie długości boków i miarę jednego z kątów. Pomijając obliczenia:

(22)
\begin{align} S=\frac{189\sqrt{3}}{4} \end{align}
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License