Matura z matematyki II (A. Kiełbasa) - 108.

W kole o środku O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD oraz cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie K. Oblicz miarę kąta BAM wiedząc, że w czworokąt OBMK można wpisać okrąg.

Załóżmy, że punkt K leży bliżej punktu D niż punktu C.

Oznaczmy:

(1)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} |OK|=a\\ |KM|=b\\ |MB|=c\\ |BO|=d\\ |KB|=x \end{array}\right. \end{align}

Zauważmy, że kąt BAM jest także kątem prostym (jest oparty na średnicy).

Z warunków zadania oraz z tw. Pitagorasa wiemy, że:

(2)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a+c=b+d\\ a^2+d^2=b^2+c^2 \end{array}\right. \end{align}

Łatwo dochodzimy do postaci:

(3)
\begin{equation} (b+d)(a+d-c-b)=0 \end{equation}

Ponieważ $b+d \neq 0$ więc:

(4)
\begin{equation} a+d-c-b=0 \end{equation}

Zatem:

(5)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a+c=b+d\\ a+d-c-b=0 \end{array}\right. \Rightarrow a = b\wedge c = d \end{align}

A ponieważ $|OA|=d$ to $|AK|=x$.

Widzimy, że trójkąty OKB i MKB są przystające oraz trójkąt AKB jest równoramienny.

Czyli kąt BAM równy jest kątowi ABK oraz kątowi KBM.

Ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa 180o, więc możemy teraz łatwo wyliczyc z trójkąta AMB że:

(6)
\begin{align} \sphericalangle BAM=30^o \end{align}
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License