Matura z matematyki II (A. Kiełbasa) - 109.

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E. Wiadomo, że trójkąty ABE i CDE mają równe pola, długość boku AB jest równa 4, a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta A. Oblicz długość boku BC.

Z treści zadania wiemy, że:

(1)
\begin{align} \sphericalangle BAC=\sphericalangle CAD \end{align}

Oznaczmy te kąty miarą $\alpha$, a kąt BCA miarą $\beta$.


Z treści zadania wiemy także, że:

(2)
\begin{align} S_{ABE}=S_{CDE}\Rightarrow S_{ABE}+S_{AED}=S_{CDE}+S_{AED} \end{align}
(3)
\begin{equation} S_{ABD}=S_{ACD} \end{equation}

Pola tych trójkątów możemy wyrazić następującymi wsozrami:

(4)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} S_{ABD}=|AB|\cdot |AD|\cdot\sin\sphericalangle BAD\\ S_{ACD}=|AC|\cdot |AD|\cdot\sin\sphericalangle CAD \end{array}\right. \end{align}

Korzystając z równości tych pól i przyjętych oznaczeń możemy zapisać:

(5)
\begin{align} |AB|\cdot |AD|\cdot\sin2\alpha=|AC|\cdot |AD|\cdot\sin\alpha \end{align}
(6)
\begin{align} |AB|\sin2\alpha=|AC|\sin\alpha \end{align}
(7)
\begin{align} |AC|=\frac{|AB|\sin2\alpha}{\sin\alpha} \end{align}

Ze wzoru na $\sin2\alpha$:

(8)
\begin{align} |AC|=\frac{2|AB|\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \end{align}
(9)
\begin{align} |AC|=2|AB|\cos\alpha \end{align}

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ABC i wcześniej przyjętych oznaczeń możemy zapisać:

(10)
\begin{align} \frac{|AB|}{\sin\beta}=\frac{|AC|}{\sin(\pi-(\alpha+\beta))} \end{align}
(11)
\begin{align} |AB|\sin(\pi-(\alpha+\beta))=|AC|\sin\beta \end{align}

Ze wzorów redukcyjnych na [[\sin(\pi-x)]]:

(12)
\begin{align} |AB|\sin(\alpha+\beta)=|AC|\sin\beta \end{align}

Podsawmy obliczoną już wartość |AC|:

(13)
\begin{align} |AB|\sin(\alpha+\beta)=2|AB|\cos\alpha\sin\beta \end{align}
(14)
\begin{align} \sin(\alpha+\beta)=2\cos\alpha\sin\beta \end{align}

Ze wzoru na $\sin(\alpha+\beta)$:

(15)
\begin{align} \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=2\cos\alpha\sin\beta \end{align}
(16)
\begin{align} \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=0 \end{align}

Ze wzoru na $\sin(\alpha-\beta)$:

(17)
\begin{align} \sin(\alpha-\beta)=0\Rightarrow \alpha-\beta=k\pi, k\in\mathbb Z \end{align}

Ponieważ czworokąt ABCD jest wypunkły to $\sphericalangle BAD<\pi$ toteż kąt BAC oznaczony jako $\alpha$ jest kątem ostrym.

Wypukłość czworokąta ABCD implikuje to, że $\sphericalangle BCD<\pi \Rightarro \beta<\pi$

Zatem:

(18)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} \alpha-\beta=k\pi, k\in\mathbb Z\\ \alpha\in \left(0;\frac{\pi}{2}\right)\\ \beta\in \left(0;\pi\right)\\ \end{array}\right. \Rightarrow \alpha-\beta=0 \end{align}
(19)
\begin{align} \alpha=\beta \end{align}

Zatem trójkąt ABC jest równoramienny:

(20)
\begin{equation} |BC|=|AB| \end{equation}

A |AB| z treści zadania równe jest 4, zatem:

(21)
\begin{equation} |BC|=4 \end{equation}
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License