Matura z matematyki II (A. Kiełbasa) - 90.
czworokat_2.png

Jedna zpodstaw trapezu wpisanego w okrąg jest jego średnicą. Olicz cosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu do sumy długości podstaw wynosi 1,5

Oznaczmy wierzchołki trapezu jako ABCD, gdzie bok AB (długości a) jest dłuższą z podstaw i średnicą okręgu opisanego, a bok CD (długości b)to krótrza z podstaw, natopiast boki BC i DA będące równe jako iż trapez da się wpisać w okrąg (długości c) to ramiona trójkąta.Niech punkt E będzie miejscem padania wysokości na podstawę AB z wierzchołka D.

Niech kąt przy dłuższej z podstaw będzie miał miarę $\alpha$, zatem szukamy wartości $\cos\alpha$.

Z treści zadania wiemy, że:

(1)
\begin{align} \frac{a+b+2c}{a+b}=1,5\Rightarrow\frac{2c}{a+b}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{a+b}{c}=4 \end{align}
(2)
\begin{align} 4=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \end{align}

Wiemy także, że wysokość DE trapezu pada na bok AB tworząc trójkąt prostokątny AED. Zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

(3)
\begin{align} \cos\alpha=\frac{|AE|}{c} \end{align}

Długość odcinka AE prosto określić jako połowę różnicy długości podstaw:

(4)
\begin{align} |AE|=\frac{1}{2}(a-b) \end{align}

zatem:

(5)
\begin{align} \cos\alpha=\frac{a-b}{2c} \end{align}
(6)
\begin{align} 2\cos\alpha=\frac{a}{c}-\frac{b}{c} \end{align}

Zatem znając dwa do tej pory wyprowadzone równania możemy obliczyć ich sumę:

(7)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} 2\cos\alpha=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}\\ 4=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \end{array} \right. \end{align}
(8)
\begin{align} 2\cos\alpha+4=2\frac{a}{c} \end{align}
(9)
\begin{align} \cos\alpha+2=\frac{a}{c} \end{align}

Wiemy także z treści zadania, że odcinek AB jest śrenicą okręgu, zatem kąt ADB jest kątem wpisanym opisanym na półokręgu, więc jest to kąt prosty. Zatem z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

(10)
\begin{align} \cos\alpha=\frac{c}{a} \end{align}
(11)
\begin{align} \frac{a}{c}=\frac{1}{\cos\alpha} \end{align}

Podstawiając obliczoną wartość do wcześniejszego równania otrzymujemy:

(12)
\begin{align} \cos\alpha+2=\frac{1}{\cos\alpha} \end{align}
(13)
\begin{align} \cos\alpha+2-\frac{1}{\cos\alpha}=0 \end{align}

Możemy pomnożyć obie strony przez $\cos\alpha$, jako że jego wartość jest różna od zera (jako iż nie jest to kąt prosty). Otrzymujemy:

(14)
\begin{align} \cos^2\alpha+2\cos\alpha-1=0 \end{align}
(15)
\begin{align} \cos^2\alpha+2\cos\alpha+1=2 \end{align}
(16)
\begin{align} (\cos\alpha+1)^2=2 \end{align}
(17)
\begin{align} |\cos\alpha+1|=\sqrt{2} \end{align}

Wiadomo także, że funkcja cosinus osiąga wartości z przedziału <-1;1>, zatem $\cos\alpha\gwq -1\Rightarrow\cos\alpha+1\geq 0$. Możemy zatem pominąć modół:

(18)
\begin{align} \cos\alpha+1=\sqrt{2} \end{align}
(19)
\begin{align} \cos\alpha=\sqrt{2}-1 \end{align}
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License