Matura z matematyki II (A. Kiełbasa) - 94.

Pole trapezu jest równe S, a stosunek długości jego podstaw wynosi k. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Oznaczmy wierzchołki trapezu odpowiednio jako A, B, C, D (AB to podstawa o długości a, CD to podstawa o długości b), a punkt przecięcia przekątnych jako E. Niech wysokości trójkątów ABE i CDE poprowadzone z wierzchołka E będą wynosiły odpowiednio h_a i h_b. Zatem:

(1)

\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} S_{ABE}=\frac{1}{2}ah_a\\ S_{BCE}=S_{ABC}-S_{ABE}=\frac{1}{2}a(h_a-h_b)-\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ah_b\\ S_{CDE}=\frac{1}{2}bh_b\\ S_{DAE}=S_{ABD}-S_{ABE}=\frac{1}{2}a(h_a-h_b)-\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ah_b \end{array}\right. \end{align}

(2)

\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} S_{ABE}=\frac{1}{2}ah_a\\ S_{BCE}=\frac{1}{2}ah_b\\ S_{CDE}=\frac{1}{2}bh_b\\ S_{DAE}=\frac{1}{2}ah_b \end{array}\right. \end{align}

---

Z treści zadania wiemy, że $\frac{a}{b}=k\Rightarrow a=kb$, ponieważ trójkąty ABE i CDE są podobne (z cechy kąt-kąt) wiemy też, że $\frac{h_a}{h_b}=k\Rightarrow h_a=kh_b$. Zatem:

(3)

\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} S_{ABE}=\frac{1}{2}bh_b k^2\\ S_{BCE}=\frac{1}{2}bh_b k\\ S_{CDE}=\frac{1}{2}bh_b\\ S_{DAE}=\frac{1}{2}bh_b k \end{array}\right. \end{align}

---

Z treści zadania iemy, że pole ABCD wynosi S:

(4)

\begin{align} \frac{1}{2}(a+b)(h_a+h_b)=S \end{align}

(5)

\begin{align} \frac{1}{2}(kb+b)(kh_b+h_b)=S \end{align}

(6)

\begin{align} \frac{1}{2}(k+1)^2bh_b=S \end{align}

(7)

\begin{align} \frac{1}{2}bh_b=\frac{S}{(k+1)^2} \end{align}

---

Podstawiając do wzorów na pole trójkątów otrzymujemy:

(8)

\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} S_{ABE}=\frac{Sk^2}{(k+1)^2}\\ S_{BCE}=\frac{Sk}{(k+1)^2}\\ S_{CDE}=\frac{S}{(k+1)^2}\\ S_{DAE}=\frac{Sk}{(k+1)^2} \end{array}\right. \end{align}