Liczby zespolone

Definicja

Zbiór liczb zespolonych ($\mathbb C$) to ogół takich $z$, że $z=x+yi$ gdzie $x$ i $y$ to liczby rzeczywiste, a $i$ to jednostka urojona taka, że $i^2=-1$.

Ujmując to bardziej przystępnie, można rzec, że matematycy działając na liczbach rzeczywistych nie mogli pierwiastkować liczb ujemnych, w związku z czym postanowili stworzyć teorię, w której będzie to wykonalne. Całość nowo stworzonej grupy, nazwanej liczbami zespolonymi opierała się na jednostce urojonej $i$, której kwadrat jest równy $-1$. Można zatem napisać, że $i=\sqrt{-1}$.

Każdą liczbę zespoloną będziemy w stanie zapisać jako sumę liczby rzeczywistej i części urojonej, będącej iloczynem $i$ oraz kolejnej liczby rzeczywistej. Zatem:

(1)
\begin{align} z\in\mathbb C\Leftrightarrow \exists_{x,y\in\mathbb R}:z=x+yi \end{align}

zespolone_1.png

Reprezentacja

Mogą być one reprezentowane na płaszczyźnie zespolonej (płaszczyzna Gaussa), gdzie liczby na osi OX (y=0) reprezentują wszystkie liczby rzeczywiste.

Wspomniana płaszczyzna przypomina nam układ współrzędnych kartezjańskich. Para liczb $x$, $y$ reprezentują odpowiednio część rzeczywistą i urojoną danej liczby zespolonej. Liczbę $z\in\mathbb C$ taką, że $z=x+yi$ umiejscowimy na taj płaszczyźnie w punkcie o współrzędnych $(x,y)$.

Litera $z$ reprezentować będzie także wektor poprowadzony z punktu $(0,0)$ do punktu przedstawiającego daną liczbę zespoloną, natomiast $|z|$ długość tego wektora.

(2)
\begin{equation} z=[x,y] \end{equation}
(3)
\begin{align} |z|=\sqrt{x^2+y^2} \end{align}

Wprowadźmy także znak $\overline z$ (czyt. sprzężenie z) taki, że $z=x+yi\Rightarrow\overline z=x-yi$

Łatwo zauważyć, że $z\overline z=(x+yi)(x-yi)=x^2-xyi+xyi-y^2i^2$. Dodatkowo, z definicji wiemy, że $i^2=-1$, toteż: $z\overline z=x^2+y^2$.

Warto też zauważyć, że $x^2+y^2=|z|^2$. Zatem:

(4)
\begin{align} z\overline z=|z|^2 \end{align}

Wektor $z$ można także przedstaić jako fragment półprostej będącej drugim ramieniem kąta, którego pierwsze ramie pokrywa się z dodatnią pół-osią osi OX. W takim przypadku: $\sin\alpha={y \over |z|} \Rightarrow y=|z|\sin\alpha$, natomiast $\cos\alpha={x \over |z|} \Rightarrow x=|z|\cos\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt wyznaczony przez wektor $z$.

Zatem podstawiając wyliczone wartości pod $x$ i $y$ możemy zdefiniować liczbę zespoloną $z$ w następujący sposób:

(5)
\begin{align} z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha) \end{align}

Podstawowe prawa

zespolone_2.png

Suma i różnica

Sumę dwóch liczb zespolonych $z_1=x_1+y_1i$ i $z_2=x_2+y_2i$, możemy przedstawić w następujący sposób: $z_1+z_2=x_1+y_1i+x_2+y+2i=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$.

Łatwo zauważyć, że zarówno $(x_1+x_2)$, jak i $(y_1+y_2)$ to liczby rzeczywiste, z czego wynika, że suma liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.

W interpretacji graficznej wektor $z_1+z_2$ równy jest sumie wektorów $z_1$ i $z_2$.

Analogicznie przedstawimy różnicę tych liczb: $z_1-z_2=x_1+y_1i-x_2-y_2i=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$. Podobnie jak w przypadku sumy różnica liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.

Graficznie przedstawiamy ją jako różnicę wektorów $z_1$ i $z_2$.


zespolone_3.png

Iloczyn

Aby przedstawić iloczyn liczb zespolonych skorzystamy z zapisu tych wartości z użyciem funkcji trygonometrycznych kąta wyznaczonego przez wektor będący interpretacją liczb zespolonych.

Zatem: $z_1=|z_1|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$, oraz $z_2=|z_2|(\cos\beta+i\sin\beta)$, gdzie kąty $\alpha$ i $\beta$ są wyznaczone odpowiednio przez wektory $z_1$ i $z_2$. Toteż:

(6)
\begin{align} z_1z_2=|z_1|(\cos\alpha+i\sin\alpha)|z_2|(\cos\beta+i\sin\beta) \end{align}
(7)
\begin{align} z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos\alpha\cos\beta+i^2\sin\alpha\sin\beta+i\cos\alpha\sin\beta+i\sin\alpha\cos\beta) \end{align}
(8)
\begin{align} z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+i(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)) \end{align}

Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$, oraz $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$. Zatem podstawiając do wzoru otrzymujemy:

(9)
\begin{align} z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)) \end{align}

Zatem iloczyn ten da się przedstawić jako liczbę zespoloną, gdzie $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$, a kąt który wyznacza wektor ma miarę $\alpha+\beta$, więc iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną

Graficzne przedstawienie tego iloczynu wymaga obrania jakiejś skali, jako iż wektor będzie miał długość równą iloczynowi długości wektorów będących czynnikami mnożenia. Kąt między dodatnią pół-osią osi OX, a wektorem będzie miał miarę równą sumie miar kątów wyznaczonych przez czynniki.

Konstrukcyjnie najpierw będziemy musieli stworzyć półprostą pod kątem $\alpha+\beta$. Następnie musimy wyznaczyć drugie ramię kąta O-Z1-Z1Z2, który równy ma być kątowi O-1-Z2 (jak na rysunku). Powstały dwa trójkąty podobne O-Z1-Z1Z2 oraz O-1-Z2 (jeden z kątów ma miarę $\beta$, drugi $\gamma$), zatem można zapisać następującą równość:

(10)
\begin{align} {|z_1z_2| \over |z_1|}={|z_2| \over 1} \Rightarrow |z_1z_2|=|z_1||z_2| \end{align}

Zatem znaleźliśmy punkt Z1Z2, będący interpretacją graficzną iloczynu dwóch liczb zespolonych.


zespolone_4.png

Iloraz

Podobnie jak w przypadku iloczynu do wyznaczenia ilorazu dwóch liczb zespolonych będziemy używać zapisu tych wartości z użyciem funkcji trygonometrycznych kątów wyznaczonych przez odpowiednie wektory. Zatem, podobnie jak w przypadku iloczynu:

(11)
\begin{align} {z_1 \over z_2}={|z_1|(\cos\alpha+i\sin\alpha) \over z_2} \end{align}

Rozszerzmy teraz licznik i mianownik o sprzężenie z2 ($\overline z=|z_2|(\cos\beta-i\sin\beta)$)

(12)
\begin{align} {z_1 \over z_2}={|z_1|(\cos\alpha+i\sin\alpha)|z_2|(\cos\beta-i\sin\beta) \over z_2\overline z_2} \end{align}

Wiemy też, że $z_2\overline z_2=|z_2|^2$, więc:

(13)
\begin{align} {z_1 \over z_2}={|z_1||z_2|(\cos\alpha\cos\beta-i^2\sin\alpha\sin\beta+i\sin\alpha\cos\beta-i\sin\beta\cos\alpha) \over |z_2|^2} \end{align}
(14)
\begin{align} {z_1 \over z_2}={|z_1|\over|z_2|}((\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha) \end{align}

Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$, oraz $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$. Zatem podstawiając do wzoru otrzymujemy:

(15)
\begin{align} {z_1 \over z_2}={|z_1|\over|z_2|}(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)) \end{align}

Zatem iloraz ten da się przedstawić jako liczbę zespoloną, gdzie $\left|{z_1 \over z_2}\right|={|z_1|\over|z_2|}$, a kąt który wyznacza wektor ma miarę $\alpha-\beta$, więc iloraz liczb zespolonych jest liczbą zespoloną

Przedstawienie graficzne na płaszczyźnie Gaussa ilorazu dwóch liczb zespolonych także wymaga obrania jednostki, jak w przypadku iloczynu.

Konstrukcyjnie musimy stworzyć półprostą pod kątem $\alpha-\beta$. Następnie musimy wyznaczyć drugie ramię kąta O-Z1-Z1/Z2, który równy ma być kątowi 1-Z2-O (jak na rysunku). Powstały dwa trójkąty podobne O-Z1-Z1/Z2 oraz 1-Z2-O (jeden z kątów ma miarę $\beta$, drugi $\gamma$), zatem można zapisać następującą równość:

(16)
\begin{align} {\left|{z_1 \over z_2}\right| \over |z_1|}={1 \over |z_2|} \Rightarrow \left|{z_1 \over z_2}\right|={|z_1|\over|z_2|} \end{align}

Zatem znaleźliśmy punkt Z1/Z2, będący interpretacją graficzną ilorazu dwóch liczb zespolonych.


Potęga

Zauważmy, że:

(17)
\begin{align} z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)\Rightarrow z^2=|z|^2(\cos2\alpha+i\sin2\alpha) \end{align}

co wynika bezpośrednio ze wzoru na iloczyn dwóch liczb zespolonych ($z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))$), ale w tym przypadku $z_1=z_2$, a $\alpha=\beta$

Analogicznie możemy zapisać, że $z^3=zz^2$, a znamy obie te wartości i wiemy jak obliczyć ich iloczyn, toteż:

(18)
\begin{align} z^3=|z|^3(\cos3\alpha+i\sin3\alpha) \end{align}

Analogicznie:

(19)
\begin{align} z^n=|z|^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha) \end{align}

i tak właśnie wyznaczyliśmy wzór de Moivre'a, będący wzorem na potęgę liczby zespolonej.


Pierwiastek

Mamy daną dowolną liczbę zespoloną $z=|z|(\cos \alpha+i\sin \alpha)$

Załużmy, że liczba zespolona $z'$ równa jest $z^n$, zatem ze wzoru de Moivre'a: $z'=|z|^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)$.

Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że $\cos\alpha=\cos(\alpha-2k\pi)$, a $\sin\alpha=\sin(\alpha-2k\pi)$, gdzie $k\in\mathbb Z$.

Zatem, można zapisać, że $z'=|z|^n(\cos(n\alpha-2k\pi)+i\sin(n\alpha-2k\pi))$.

Możemy także zapisać, że $z'=|z'|(\cos\beta+i\sin\beta)$, gdzie:

(20)
\begin{align} |z'|=|z|^n\wedge\beta=n\alpha-2k\pi \end{align}

Zatem:

(21)
\begin{align} |z|=\sqrt[n]{|z'|}\wedge\alpha=\frac{\beta+2k\pi}{n} \end{align}

Korzystając z wcześniej uzyskanych zależności możemy zapisać $z$ w zależności od $z'$:

(22)
\begin{align} z=\sqrt[n]{|z'|}\left(\cos\left(\frac{\beta+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\beta+2k\pi}{n}\right)\right) \end{align}

W ten sposób uzyskaliśmy wzór na pierwiastek liczby zespolonej, który także jest liczbą zespoloną, jako iż pierwiastek z nieujemnej liczby rzeczywistej jest liczbą rzeczywistą (z definicji $|a|\geq 0$):

(23)
\begin{align} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right) \end{align}

Twierdzenia:

Pierwiastek n-tego stopnia z dowolnej liczby zespolonej ma n rozwiązań w zbiorze liczb zespolonych.

Dowód:

Ze wzoru na pierwiastek liczby zespolonej wiemy, że:

(24)
\begin{align} z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)\Rightarrow\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right) \end{align}

Zauważmy, że punkty reprezentujące te pierwiastki na płaszczyźnie Gaussa mogą się pokrywać, a wtedy były by to te same liczby.

Załóżmy, że $z_1$ i $z_2$ to pierwiastki liczby zespolonej $z$. Zatem:

(25)
\begin{align} z_1=z_2\Leftrightarrow\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k_1\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha+2k_1\pi}{n}\right)\right)=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k_2\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha+2k_2\pi}{n}\right)\right) \end{align}

Zauważmy, że liczby te są równe, tylko jeśeli kąty wyznaczone przez te liczby się pokrywają ($\alpha_1=\alpha_2+2l\pi$, gdzie $l\in\mathbb Z$)

(26)
\begin{align} z_1=z_2\Leftrightarrow\frac{\alpha+2k_1\pi}{n}=\frac{\alpha+2k_2\pi}{n}+2l\pi \end{align}
(27)
\begin{align} z_1=z_2\Leftrightarrow\frac{\alpha}{n}+\frac{2k_1\pi}{n}=\frac{\alpha}{n}+\frac{2k_2\pi}{n}+2l\pi \end{align}
(28)
\begin{align} z_1=z_2\Leftrightarrow\frac{2k_1\pi}{n}=\frac{2k_2\pi}{n}+2l\pi \end{align}
(29)
\begin{align} z_1=z_2\Leftrightarrow\frac{2k_1\pi}{n}-\frac{2k_2\pi}{n}=2l\pi \end{align}
(30)
\begin{align} z_1=z_2\Leftrightarrow\frac{k_1}{n}-\frac{k_2}{n}=l \end{align}
(31)
\begin{align} z_1=z_2\Leftrightarrow\frac{k_1-k_2}{n}=l \end{align}
(32)
\begin{align} z_1=z_2\Leftrightarrow\frac{k_1-k_2}{n}=l\Leftrightarrow n|(k_1-k_2) \end{align}

Zatem załóżmy, że: $k_1=0$, $k_2=1$, $k_3=2$, … , $k_n=n-1$. Wiadomo, że różnica dwóch liczb mniejszych od $n$ nie jest przez $n$ podzielna. W ten sposób znaleźliśmy pierwszych $n$ pierwiastków.

Jednakże teraz okazuje się, że nie zależnie jaką inną liczbę weźmiemy zawsze znajdzie się różnica podzielna przez $n$.

Co więcej. Niezależnie jakie pierwszych $n$ liczb weźmiemy nie będzie dało się znaleźć kolejnej.

Co kończy dowód.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License