Nierówność Karamaty

Zygmunt Łenyk IIe Obóz matematyczny

Nierówność Karamaty

1. Wstęp
a)pojęcie majoryzacji

Def. Nierosnący ciąg liczb rzeczywistych $X=(x_1, x_2,...,x_n)$ majoryzuje nierosnący
ciąg liczb rzeczywistych $Y=(y_1,y_2,...,y_n)$ jeśli zachodzą następujące nierówności:

(1)
\begin{align} x_1 \geqslant y_1 \end{align}
(2)
\begin{align} x_1+x_2 \geqslant y_1+y_2 \end{align}
(3)
\begin{align} \vdots \end{align}
(4)
\begin{align} x_1+x_2+...+x_{n-1} \geqslant y_1+y_2+...+y_{n-1} \end{align}
(5)
\begin{equation} x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n = y_1+y_2+...+y_{n-1} +y_n \end{equation}

b)nierówność
Niech $f$ będzie funkcją wypukłą. Oraz $X=(x_1, x_2,...,x_n)$ majoryzuje$Y=(y_1,y_2,...,y_n)$

Wówczas:

(6)
\begin{align} \sum_{i = 1}^{n} f(x_i) \geqslant \sum_{i = 1}^{n} f(y_i) \end{align}

c)dowód
Lemat: Jeśli f jest funkcją wypukłą, to dla dowolnych$x\geqslant y\geqslant z$ zachodzi:

(7)
\begin{align} \frac{f(y)-f(z)}{y-z} \leqslant \frac{f(x)-f(z)}{x-z} \leqslant \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \end{align}

Z definicji funkcji wypukłej:

(8)
\begin{align} f(y)=f(\frac{y-z}{x-z}\cdot x + \frac{x-y}{x-z} \cdot z) \leqslant \frac{y-z}{x-z}f(x) + \frac{x-y}{x-z}f(z) \end{align}

Stąd

(9)
\begin{align} (x-y)(f(x)-f(z)) \leqslant (x-z)(f(x)-f(y)) \end{align}

dzieląc obie strony równania przez$(x-y)(x-z)$ otrzymujemy prawą nierówność. Analogicznie dowodzimy lewą.

Przekształcenie Abela:

Rozważmy 2 ciągi n-wyrazowe liczb rzeczywistych $a_1,a_2, ... ,a_n$ oraz $b_1,b_2,...,b_n$
Oznaczmy

(10)
\begin{align} A_{k} = \sum_{j = 1}^{k} a_{j} \end{align}

Prawdziwa jest równość:

(11)
\begin{align} \sum_{k = 1}^{n}a_{k}b_{k} =\sum_{k = 1}^{n - 1}(b_{k} - b_{k + 1})A_{k} + b_{n}A_{n} \end{align}

dowód:
przyjmijmy $p_k =b_k(a_1+a_2+...+a_k)$
otrzymujemy:

(12)
\begin{align} \sum_{i = 1}^{n-1}(b_i-b_{i+1})(a_1,a_2, ... ,a_i) +b_n \sum_{i = 1}^{n-1}a_i = \end{align}
(13)
\begin{align} \sum_{i = 1}^{n-1}(b_i (a_1,a_2, ... ,a_i) -b_{i+1}(a_1,a_2, ... ,a_{i+1}) + a_{i+1}b_{i+1}) +b_n \cdot \sum_{i = 1}^{n} a_i = \end{align}
(14)
\begin{align} \sum_{i = 1}^{n-1}(p_i-p_{i+1}+a_{i+1}b_{i+1}) + p_n= \end{align}
(15)
\begin{align} p_1 + \sum_{i = 1}^{n-1}a_{i+1}b_{i+1} = \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i \end{align}

Dowód nierówności karamaty

Załóżmy, że $x_k \neq y_k$ dla k=1,2,…,n. Inaczej moglibyśmy od obu stron nierówności odjąć $f(x_k)$ i $f(y_k)$.
Niech $D_k = \frac{f(x_k)-f(y_k)}{x_k - y_k}$ oraz $X_k = \sum_{i = 1}^{k}x_i$ i $Y_k = \sum_{i = 1}^{k}y_i$
X majoryzuje Y oznacza, że $X_k \geqslant Y_k$ dla k=1,2…,n oraz $X_k=Y_k$
W lemacie udowodniliśmy, że $D_k \geqslant D_{k+1}$ dla k=1,2…,n-1, więc:

(16)
\begin{align} \sum_{i = 1}^{n-1}(X_k-Y_k)(D_k-D_{k-1}) + (X_n-Y_n)D_n \geqslant 0 \end{align}

Z przekształcenia Abela orzymujemy:

(17)
\begin{align} \sum_{i = 1}^{n}(x_k - y_k)D_k = \sum_{i = 1}^{n-1}(X_k-Y_k)(D_k-D_{k-1}) + (X_n-Y_n)D_n \geqslant 0 \end{align}

czego należało dowieść, bo

(18)
\begin{align} \sum_{i = 1}^{n}(x_k - y_k)D_k = \sum_{i = 1}^{n}(f(x_i) - f(y_i)) \end{align}

Zadania

Zad 1.
Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c,d zachodzi nierówność

(19)
\begin{align} 2^d(\frac{1}{(a+b)^d} +\frac{1}{(b+c)^d} + \frac{1}{(a+c)^d}) \leqslant \frac{1}{a^d} +\frac{1}{b^d} + \frac{1}{c^d} \end{align}

Zad 2.
Niech a,b,c będą długościami boków trójkąta, oraz $0< \alpha < 1$
Udowodnić, że:

(20)
\begin{align} (a+b-c)^\alpha +(b+c-a)^\alpha +(c+a-b)^\alpha \leqslant a^\alpha + b^\alpha + c^\alpha \end{align}

Zad 3. Niech $\alpha, \beta, \gamma$ będą miarami kątów trójkąta. Udowodnić, że:
a) $sin\alpha + sin\beta + sin\gamma \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{2}$
b) $2 < sin\alpha + sin\beta + sin\gamma$
c) $sin\alpha + sin\beta + sin\gamma \leqslant 1+ \sqrt{2}$

Zad 4.
Niech $\alpha, \beta, \gamma$ będą miarami kątów trójkąta. Udowodnić, że:

(21)
\begin{align} sin\alpha \cdot sin\beta \cdot sin\gamma \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{8} \end{align}

*Zad 5. Niech n będzie liczbą naturalną, a x i y dodatnimi liczbami rzeczywistymi, takimi, że $x^n+y^n=1$ Udowodnić, nierówność:

(22)
\begin{align} (\sum_{i = 1}^{n}\frac{ 1+x^{2k} }{ 1+x^{4k}})(\sum_{i = 1}^{n}\frac{ 1+y^{2k} }{ 1+y^{4k}}) <\frac{1}{(1-x)(1-y)} \end{align}

Zad 6. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a_1, a_2,...,a_n, \alpha, \beta$ takich, że $\alpha > \beta$ zachodzi nierówność:

(23)
\begin{align} \sum_{i = 1}^{n}\frac{a_i^\alpha}{a_{i+1}^\beta} \geqslant \sum_{i = 1}^{n}a_i^{\alpha- \beta} \end{align}

Zad 7. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a_1, a_2, ..., a_n$ zachodzi nierówność

(24)
\begin{align} (\sum_{i=1}^{n}a_i)^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i^2} \geqslant n^3 \end{align}

Rozwiązania.

Zad 1. Dzielimy obie strony nierówności przez $2^d$

(25)
\begin{align} \frac{1}{(a+b)^d} +\frac{1}{(b+c)^d} + \frac{1}{(a+c)^d} \leqslant \frac{1}{2a^{d}} +\frac{1}{2b^{d}} + \frac{1}{2c^{d}} \end{align}

Przyjmijmy bez straty ogólności, że $a \geqslant b \geqslant c$. Funkcja $f(x)= \frac{1}{x^d}$ jest wypukła dla liczb dodatnich. Zauważmy, że ciąg (2a,2b,2c) majoryzuje (a+b, a+c, b+c).
Stosując nierówność Karamaty dla tych ciągów i funkcji f otrzymujemy żądaną nierówność.

Zad 2. Oznaczmy $x=a+b-c, y=a+c-b, z=b+c-a$ Nierówność przyjmuje postać:

(26)
\begin{align} x^\alpha+y^\alpha +z^\alpha \leqslant ( \frac{x+y}{2})^\alpha +( \frac{y+z}{2})^\alpha + ( \frac{x+z}{2})^\alpha \end{align}

Widać, że $(x,y,z)$ mojaryzuje $(\frac{x+y}{2}, \frac{x+z}{2}, \frac{z+y}{2})$
Rozważmy funkcję $f(t)=t^\alpha$ określoną na zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych. Ponieważ f jest funkcją wklęsłą, to z nierówności Karamaty otrzymujemy:

(27)
\begin{align} x^\alpha+y^\alpha +z^\alpha = f(x) + f(y) + f(z) \leqslant f(\frac{x+y}{2}, \frac{x+z}{2}, \frac{z+y}{2}) = ( \frac{x+y}{2})^\alpha +( \frac{y+z}{2})^\alpha + ( \frac{x+z}{2})^\alpha \end{align}
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License