Średnie i nierówności między nimi

Średnia kwadratowa n liczb:

(1)
\begin{align} S_k=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{{a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2}{n}} \end{align}

Średnia artmetyczna n liczb:

(2)
\begin{align} S_a=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}{n}=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} \end{align}

Średnia geometryczna n liczb:

(3)
\begin{align} S_g=\sqrt{\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i}=\sqrt{a_1\codt a_2\cdot a_3\cdot ...\cdot a_n} \end{align}

Średnia harmoniczna n liczb:

(4)
\begin{align} S_h=\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}} \end{align}

Nierówności:

(5)
\begin{align} S_k \geq S_a \geq S_g \geq S_h \end{align}
(6)
\begin{align} \sqrt{\frac{{a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2}{n}} \geq \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}n \geq \sqrt{a_1a_2a_3...a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}} \end{align}
(7)
\begin{align} \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2}{n}}\geq\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}{n}\geq\sqrt{\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i}\geq\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}} \end{align}
(8)
\begin{align} (S_k=S_a=S_g=S_h) \Leftrightarrow (a_1=a_2=a_3=...=a_n) \end{align}

Dowody:

(9)
\begin{align} S_k \geq S_a \end{align}

Z nierówności Cauchego-Schwarza w formie Engela mamy:

(10)
\begin{align} \frac{{a_1}^2}{1}+\frac{{a_2}^2}{1}+\frac{{a_3}^2}{1}+...+\frac{{a_n}^2}{1} \geq \frac{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2}n \end{align}

Po przedzieleniu obu stron nierówności przez n:

(11)
\begin{align} \frac{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+...+{a_n}^2}n \geq \frac{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2}{n^2} \end{align}

Po spierwiastkowaniu obu stron otrzymujemy dokładnie tą nierówność, której szukaliśmy.

(12)
\begin{align} \sqrt{\frac{{a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2}{n}} \geq \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}n \end{align}
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License