Sieczne i styczne
okrag_1.png

Twierdzenie o siecznej i stycznej:

Kąt ostry między styczną, a odcinkiem łączącym punkt styczności i miejsce przecięcia siecznej i okręgu równy jest ostremu kątowi wpisanemu opartemu na łuku wyznaczonym przez dwa wspomniane punkty (na rysunku: $\alpha=\beta$)

Dowód:

Z definicji kąt między promieniem a styczną jest kątem prostym, zatem: $\sphericalangle OBC=\frac{\pi}{2}-\alpha$.

Trójkąt BOC jest trójkątem równoramiennym, gdzie ramię ma długość promienia. Zatem $\sphericalangle BCO=\sphericalangle OBC=\frac{\pi}{2}-\alpha$.

Znając miary dwóch kątów w trójkącie BOC, bez problemu obliczymy miarę trzeciego kąta:

(1)
\begin{align} \sphericalangle COB=\pi-\sphericalangle OBC-\sphericalangle BCO \end{align}
(2)
\begin{align} \sphericalangle COB=\pi-\frac{\pi}{2}+\alpha-\frac{\pi}{2}+\alpha \end{align}
(3)
\begin{align} \sphericalangle COB=2\alpha \end{align}

Ponad to wiemy, że kąt $\beta$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy COB, zatem:

(4)
\begin{align} \beta=\frac{1}{2}\sphericalangle COB \end{align}
(5)
\begin{align} \beta=\alpha \end{align}

Co kończy dowód.


okrag_2.png

Dwie nierównoległe sieczne:

Iloczyny odległości z punktu przecięcia siecznych do punktów przecięcia danej siecznej z okręgiem są równe (na rysunku $|AB||AC|=|AD||AE|$)

Dowód:

Aby czworokąt BCED był wpisany w okrąg musi być spełniona następująca zależność: $\sphericalangle BDE=\pi-\sphericalangle ECB=\pi-\alpha$.

Prosto też zauważyć, że kąty BDE i BDA sumują się do kąta pełnego, toteż $\sphericalangle BDA=\pi-\sphericalangle BDE=\pi-\pi+\alpha=\alpha$.

Analogicznie $\sphericalangle DBA=\beta$.

Zatem z cechy kąt-kąt trójkąty ABD i ACE są podobne. Można zatem zapisać następujący stosunek:

(6)
\begin{align} \frac{|AB|}{|AD|}=\frac{|AE|}{|AC|} \end{align}
(7)
\begin{equation} |AB||AC|=|AD||AE| \end{equation}

Co kończy dowód.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License