Twierdzenie o siecznej i stycznej:
Kąt ostry między styczną, a odcinkiem łączącym punkt styczności i miejsce przecięcia siecznej i okręgu równy jest ostremu kątowi wpisanemu opartemu na łuku wyznaczonym przez dwa wspomniane punkty (na rysunku: $\alpha=\beta$)
Dowód:
Z definicji kąt między promieniem a styczną jest kątem prostym, zatem: $\sphericalangle OBC=\frac{\pi}{2}-\alpha$.
Trójkąt BOC jest trójkątem równoramiennym, gdzie ramię ma długość promienia. Zatem $\sphericalangle BCO=\sphericalangle OBC=\frac{\pi}{2}-\alpha$.
Znając miary dwóch kątów w trójkącie BOC, bez problemu obliczymy miarę trzeciego kąta:
(1)Ponad to wiemy, że kąt $\beta$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy COB, zatem:
(4)Co kończy dowód.
Dwie nierównoległe sieczne:
Iloczyny odległości z punktu przecięcia siecznych do punktów przecięcia danej siecznej z okręgiem są równe (na rysunku $|AB||AC|=|AD||AE|$)
Dowód:
Aby czworokąt BCED był wpisany w okrąg musi być spełniona następująca zależność: $\sphericalangle BDE=\pi-\sphericalangle ECB=\pi-\alpha$.
Prosto też zauważyć, że kąty BDE i BDA sumują się do kąta pełnego, toteż $\sphericalangle BDA=\pi-\sphericalangle BDE=\pi-\pi+\alpha=\alpha$.
Analogicznie $\sphericalangle DBA=\beta$.
Zatem z cechy kąt-kąt trójkąty ABD i ACE są podobne. Można zatem zapisać następujący stosunek:
(6)Co kończy dowód.