Teoria

Pochodną funkcji $f(x)$ oznaczamy $f(x)'$ i definiujemy:

(1)
\begin{align} f'(x) = lim_{x\to\ x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \end{align}

Interpretacja geometryczna:

Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie x to oznacza, że możemy narysować styczną do jej wykresu w punkcie $(x,f(x))$, która nie jest równoległa to osi $OY$. Wartość $f(x)'$ jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej.

Przykładowe zależności między pochodnymi:

(2)
\begin{align} \left[f(x)+g(x)\right]'=f'(x)+g'(x) \end{align}
(3)
\begin{align} \left[f(x)-g(x)\right]'=f'(x)-g'(x) \end{align}
(4)
\begin{align} \left[f(x)\cdot g(x)\right]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) \end{align}
(5)
\begin{align} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} \end{align}

Pochodne przykładowych funkcji:

(6)
\begin{align} \left[\sin x\right]'=\cos x \end{align}
(7)
\begin{align} \left[\cos x\right]'=-\sin x \end{align}
(8)
\begin{align} \left[\tg x\right]'=\left[\frac{\sin x}{\cos x}\right]'=\frac{\sin' x\cdot\cos x-\sin x\cos' x}{\cos^2 x}=\frac{1}{cos^2 x} \end{align}
(9)
\begin{align} \left[ c \right]'=0 \end{align}

gdzie c=const.

(10)
\begin{align} \left[ x \right]'=1 \end{align}
(11)
\begin{align} \left[ x^2 \right]'=2x \end{align}
(12)
\begin{align} \left[ x^3 \right]'=3x^2 \end{align}
(13)
\begin{align} \dots \end{align}
(14)
\begin{align} \left[ x^n \right]'=n\cdot x^{n-1} \end{align}
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License