Treść twierdzenia:
Jeśli na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC obierzemy kolejno trzy punkty X, Y, Z takie, że AX, BY i CZ przecinają się w jednym punkcie, to:
(1)
\begin{align} \frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=1 \end{align}
Lemat:
(2)
\begin{align} \frac{a}{b}=\frac{k}{l}\wedge\frac{a}{b}=\frac{m}{n}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{k-m}{l-n} \end{align}
Dowód:
(3)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} \frac{a}{b}=\frac{k}{l}\\ \frac{a}{b}=\frac{m}{n} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l l} al=bk\\ an=bm \end{array} \right. \end{align}
Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy:
(4)
\begin{equation} al-an=bk-bm \end{equation}
(5)
\begin{equation} a(l-n)=b(k-m) \end{equation}
I wreszcie:
(6)
\begin{align} \frac{a}{b}=\frac{k-m}{l-n} \end{align}
Co mieliśmy udowodnić.
Dowód twierdzenia Cevy:
Ponieważ trójkąty AZC i BZC mają wspólną wysokość wiemy, że:
(7)
\begin{align} S_{AZC}=\frac{1}{2} AZ h_{c} \end{align}
(8)
\begin{align} S_{BZC}=\frac{1}{2} ZB h_{c} \end{align}
więc stosunek ich pól wynosi:
(9)
\begin{align} \frac{S_{AZC}}{S_{BZC}}=\frac{\frac{1}{2}AZh_{c}}{\frac{1}{2}Zbh_{c}}=\frac{AZ}{ZB} \end{align}
Na tej samej zasadzie stosunek pól trójkątów AOZ oraz BOZ wynosi:
(10)
\begin{align} \frac{S_{AOZ}}{S_{BOZ}}=\frac{AZ}{ZB} \end{align}
Korzystając z udowodnionego lematu wiemy, że:
(11)
\begin{align} \frac{AZ}{ZB}= \frac{S_{AZC}}{S_{BZC}} \end{align}
oraz
(12)
\begin{align} \frac{AZ}{ZB}= \frac{S_{AOZ}}{S_{BOZ}} \end{align}
zatem:
(13)
\begin{align} \frac{AZ}{ZB}=\frac{S_{AZC}-S_{AOZ}}{S_{BZC}-S_{BOZ}} = \frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} \end{align}
W analogiczny sposób pokazujemy stosunki pól reszty trójkątów i otrzymujemy stosunki:
(14)
\begin{align} \frac{BX}{XC}= \frac{S_{AOB}}{S_{AOC}} \end{align}
(15)
\begin{align} \frac{CY}{YA}= \frac{S_{BOC}}{S_{AOB}} \end{align}
Zatem iloczyn stosunków odcinków, równy jest iloczynowi stosunków odpowiednich pól:
(16)
\begin{align} \frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=\frac{S_{AOB}}{S_{AOC}}\cdot\frac{S_{BOC}}{S_{AOB}}\cdot\frac{S_{AOB}}{S_{AOC}} \end{align}
co z kolei równe jest 1, więc:
(17)
\begin{align} \frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=1 \end{align}
Co kończy dowód.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy:
Jeśli na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC obierzemy kolejno trzy punkty X, Y, Z takie, że:
(18)
\begin{align} \frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=1 \end{align}
to AX, BY i CZ przecinają się w jednym punkcie.
Dowód:
Wiemy, że odcinki AX i BY przecinają się, jako że A i B to wierzchołki trójkąta a odpowiednio punkty X i Y leżą na bokach na przeciw tych wierzchołków. Niech punkt O będzie punktem przecięcia odcinków AX i BY.
Niech punkt Z' będzie punktem przecięcia boku AB i prostej przechodzącej przez wierzchołek C i punkt O.
Zatem z twierdzenia Cevy wiemy, że:
(19)
\begin{align} \frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ'}{Z'B}=1 \end{align}
Z założenia wiemy także, że:
(20)
\begin{align} \frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=1 \end{align}
Zatem:
(21)
\begin{align} \frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ'}{Z'B}=\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB} \end{align}
(22)
\begin{align} \frac{AZ'}{Z'B}=\frac{AZ}{ZB} \end{align}
Wyraźmy odcinki Z'B i ZB odpowiednio jako AB-AZ' i AB-AZ jako, iż punkty Z i Z' leżą na boku AB.
(23)
\begin{align} \frac{AZ'}{AB-AZ'}=\frac{AZ}{AB-AZ} \end{align}
(24)
\begin{equation} AZ'(AB-AZ)=AZ(AB-AZ') \end{equation}
(25)
\begin{align} AB\cdot AZ'-AZ\cdot AZ'=AB\cdot AZ-AZ\cdot AZ' \end{align}
(26)
\begin{align} AB\cdot AZ'=AB\cdot AZ \end{align}
(27)
\begin{equation} AZ'=AZ \end{equation}
Zatem punkty Z i Z' są równo oddalone od wierzchołka A, a do tego oba leżą na tym samym boku trójkąta ABC, zatem punkt Z równy jest punktowi Z'.
Z założenia odcinki AX, BY i CZ' przecinały się w jednym punkcie, a jako iż Z'=Z to odcinki AX, BY i CZ przecinają się w jednym punkcie,
Co kończy dowód.
Wersja trygonometryczna:
Jeśli na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC obierzemy kolejno trzy punkty X, Y, Z takie, że AX, BY i CZ przecinają się w jednym punkcie, dzieląc kąty przy wierzchołkach A, B, C odpowiednio na $\alpha$ i $\alpha'$, $\beta$ i $\beta'$, $\gamma$ i $\gamma'$, jak na rysunku, to:
(28)
\begin{align} \frac{\sin\sphericalangle BAX}{\sin\sphericalangle XAC}\cdot\frac{\sin\sphericalangle CBY}{\sin\sphericalangle YBA}\cdot\frac{\sin\sphericalangle AZC}{\sin\sphericalangle ZCB}=1 \end{align}
(29)
\begin{align} \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha'}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\beta'}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\gamma'}=1 \end{align}
Dowód:
Z twierdzenia sinusów wiemy, że:
(30)
\begin{align} \frac{|BX|}{\sin\alpha}=\frac{|AB|}{\sin\sphericalangle AXB} \wedge \frac{|XC|}{\sin\alpha'}=\frac{|CA|}{\sin\sphericalangle AXC} \end{align}
(31)
\begin{align} |BX|=\frac{|AB|\sin\alpha}{\sin\sphericalangle AXB} \wedge |XC|=\frac{|CA|\sin\alpha'}{\sin\sphericalangle AXC} \end{align}
(32)
\begin{align} \frac{|BX|}{|XC|}=\frac{|AB|\sin\alpha}{\sin\sphericalangle AXB}\cdot\frac{\sin\sphericalangle AXC}{|CA|\sin\alpha'} \end{align}
(33)
\begin{align} \frac{|BX|}{|XC|}=\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha'}\cdot\frac{|AB|\sin\sphericalangle AXC}{|CA|\sin\sphericalangle AXB} \end{align}
Ponieważ $\sphericalangle AXC=\pi-\sphericalangle AXB$ to ze wzorów redukcyjnych:
(34)
\begin{align} \sin \sphericalangle BZC = \sin \sphericalangle AZC \end{align}
zatem:
(35)
\begin{align} \frac{|BX|}{|XC|}=\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha'}\cdot\frac{|AB|\sin\sphericalangle AXB}{|CA|\sin\sphericalangle AXB} \end{align}
(36)
\begin{align} \frac{|BX|}{|XC|}=\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha'}\cdot\frac{|AB|}{|CA|} \end{align}
Analogicznie:
(37)
\begin{align} \frac{|CY|}{|YA|}=\frac{\sin\beta}{\sin\beta'}\cdot\frac{|BC|}{|AB|} \end{align}
(38)
\begin{align} \frac{|AZ|}{|ZB|}=\frac{\sin\gamma}{\sin\gamma'}\cdot\frac{|CA|}{|BC|} \end{align}
Mnożąc stronami otrzymujemy:
(39)
\begin{align} \frac{|BX|}{|XC|}\cdot\frac{|CY|}{|YA|}\cdot\frac{|AZ|}{|ZB|}=\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha'}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin \beta'}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\gamma'} \end{align}
Z twierdzenia Cevy wiemy, że:
(40)
\begin{align} \frac{|BX|}{|XC|}\cdot\frac{|CY|}{|YA|}\cdot\frac{|AZ|}{|ZB|}=1 \end{align}
zatem:
(41)
\begin{align} \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha'}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin \beta'}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\gamma'}=1 \end{align}
Co kończy dowód.