Twierdzenie cosinusów

Treść twierdzenia:

Kwadrat długości dowolnego boku trójkąta równy jest różnicy sumy kwadratów długości dwóch pozostałych boków i podwojonego iloczynu długości tych boków i wartości cosinusa kąta między nimi.

(1)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\ b^2=c^2+a^2-2ca\cos\beta\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \end{array} \right. \end{align}

Dowód:

Rozpatrzmy boki trójkąta jako wektory(rysunek obok). Nietrudno zauważyć, że wektor a jest sumą wektorów c i b:

(2)
\begin{align} \vec{a}=\vec{b}+\vec{c} \Rightarrow \left(\vec{a}\right)^2=\left(\vec{b}+\vec{c}\right)^2 \end{align}

W tej części będzie trochę mnożenia wektorów. Będziemy je mnożyć skalarnie. Przede wszystkim pamiętajmy ogólny wzór:

(3)
\begin{align} \vec{b} \cdot \vec{c} = |b| \, |c| \cos \alpha \end{align}

gdzie $\alpha$ to kąt między tymi wektorami.

Dodatkowo:

(4)
\begin{align} \cos0=1 \Rightarrow (\vec{a} \cdot \vec{a}) = a^2 \end{align}

Nasze równanie przyjmuje postać:

(5)
\begin{align} (\vec{a} \cdot \vec{a})= (\vec{b} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})+(\vec{c} \cdot \vec{c}) \end{align}
(6)
\begin{align} a^2=b^2+2(\vec{b} \cdot \vec{c})+c^2 \end{align}

Żeby móc pomnożyć przez siebie wektory $\vec{b}$ i $\vec{c}$ musimy przesunąć wektor $\vec{b}$ tak, by jego początek był tam, gdzie jest koniec wektora $\vec{c}$.
Po przesunięciu dostajemy kąt między tymi wektorami $\beta = {\pi}-\alpha$
Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że:

(7)
\begin{align} \cos({\pi}-\alpha)=-\cos\alpha \end{align}

Więc otrzymujemy:

(8)
\begin{align} a^2=b^2 + 2(|b| \, |c| \cos \beta) + c^2 \end{align}
(9)
\begin{align} a^2=b^2 + 2(-|b| \, |c| \cos \alpha) + c^2 \end{align}

No i wreszcie:

(10)
\begin{align} a^2=b^2 - 2bc \cos \alpha + c^2 \end{align}

Co kończy dowód, ponieważ dla pozostałych boków pokazujemy w sposób analogiczny, zmieniając kierunki wektorów w trójkącie.


Dowód II:

Z wierzchołka $C$ prowadzimy wysokość $h_c$padającą na bok $c$ w punkcie $H_c$ i dzielącą go na części $|H_cA|=c_a$ i $|H_cB|=c_b$.

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że

(11)
\begin{align} \left\{\begin{array}{rcl} a^2=h_c^2+c_b^2\\ h_c^2=b^2-c_a^2 \end{array} \right. \Rightarrow a^2=b^2-c_a^2+c_b^2 \end{align}

Warto zauważyć, że $c_b=|c-c_a|$ ($c_b=c-c_a$, lub $c_b=c_a-c$, zależnie od tego czy wysokość pada na bok, czy jego przedłużenie). Zatem po podstawieniu:

(12)
\begin{equation} a^2=b^2-c_a^2+(|c-c_a|)^2 \end{equation}
(13)
\begin{equation} a^2=b^2-c_a^2+c^2-2cc_a+c_a^2 \end{equation}
(14)
\begin{equation} a^2=b^2+c^2-2cc_a \end{equation}

Wiemy, że $\cos\alpha={c_a \over b} \Rightarrow c_a=b\cos\alpha$ i podstawiając do wzoru, otrzymujemy:

(15)
\begin{align} a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha \end{align}

co kończy dowód.

tw_cos_1.png
tw_cos_2.png
tw_cos_3.png
tw_cos_4.png
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License