Treść twierdzenia:
Kwadrat długości dowolnego boku trójkąta równy jest różnicy sumy kwadratów długości dwóch pozostałych boków i podwojonego iloczynu długości tych boków i wartości cosinusa kąta między nimi.
(1)Dowód:
Rozpatrzmy boki trójkąta jako wektory(rysunek obok). Nietrudno zauważyć, że wektor a jest sumą wektorów c i b:
(2)W tej części będzie trochę mnożenia wektorów. Będziemy je mnożyć skalarnie. Przede wszystkim pamiętajmy ogólny wzór:
(3)gdzie $\alpha$ to kąt między tymi wektorami.
Dodatkowo:
(4)Nasze równanie przyjmuje postać:
(5)Żeby móc pomnożyć przez siebie wektory $\vec{b}$ i $\vec{c}$ musimy przesunąć wektor $\vec{b}$ tak, by jego początek był tam, gdzie jest koniec wektora $\vec{c}$.
Po przesunięciu dostajemy kąt między tymi wektorami $\beta = {\pi}-\alpha$
Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że:
Więc otrzymujemy:
(8)No i wreszcie:
(10)Co kończy dowód, ponieważ dla pozostałych boków pokazujemy w sposób analogiczny, zmieniając kierunki wektorów w trójkącie.
Dowód II:
Z wierzchołka $C$ prowadzimy wysokość $h_c$padającą na bok $c$ w punkcie $H_c$ i dzielącą go na części $|H_cA|=c_a$ i $|H_cB|=c_b$.
Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że
(11)Warto zauważyć, że $c_b=|c-c_a|$ ($c_b=c-c_a$, lub $c_b=c_a-c$, zależnie od tego czy wysokość pada na bok, czy jego przedłużenie). Zatem po podstawieniu:
(12)Wiemy, że $\cos\alpha={c_a \over b} \Rightarrow c_a=b\cos\alpha$ i podstawiając do wzoru, otrzymujemy:
(15)co kończy dowód.