Twierdzenie sinusów

Treść twierdzenia:

Iloraz długości dowolnego boku trujkąta i wartości sinusa kąta leżącego na przeciw niego równy jest długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

(1)
\begin{align} {a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}=2R \end{align}

Dowód:

Rozpatrzmy dwa przypadki:

Trójkąt jest prostokątny:

Sinus kąta BAC to z definicji stosunek długości boku BC do długości boku BA: $\sin \alpha'={BC \over BA'$.

Bok BC ma długość $a$, a bok BA jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC, ma zatem długość $2R$.

Zatem: $\sin \alpha={a \over 2R}$.

Zatem:${a \over \sin \alpha}=2R$

Analogicznie udowadniamy, że: ${b \over \sin \beta}=2R$ i ${c \over \sin \gamma}=2R$

co kończy dowód.


Trójkąt nie jest prostokątny:

Na okręgu opisanym na trójkącie ABC obieramy taki punkt A', że środek okręgu leży na odcinku A'B.

Kąt BA'C oznaczmy jako $\alpha'$. Kąt ten jest oparty na łuku BC, tak samo jak kąt $\alpha$, zatem są one równej miary: $\alpha'=\alpha$.

Kąt A'CB jako kąt opisany na pół-okręgu jest kątem prostym, zatem trójkąt A'CB jest prostokątny.

Sinus kąta BA'C to z definicji stosunek długości boku BC do długości boku BA': $\sin \alpha'={BC \over BA'$.

Bok BC ma długość $a$, a bok BA' jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC, ma zatem długość $2R$.

Zatem: $\sin \alpha'={a \over 2R}$.

Wiemy także, że: $\alpha=\alpha' \Rightarrow \sin \alpha=\sin \alpha'$

Czyli: $\sin \alpha={a \over 2R}$

Zatem:${a \over \sin \alpha}=2R$

Analogicznie udowadniamy, że: ${b \over \sin \beta}=2R$ i ${c \over \sin \gamma}=2R$

co kończy dowód.

tw_sin_2.png
tw_sin_1.png
tw_sin_3.png
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License