Treść twierdzenia:
Iloraz długości dowolnego boku trujkąta i wartości sinusa kąta leżącego na przeciw niego równy jest długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
(1)Dowód:
Rozpatrzmy dwa przypadki:
Trójkąt jest prostokątny:
Sinus kąta BAC to z definicji stosunek długości boku BC do długości boku BA: $\sin \alpha'={BC \over BA'$.
Bok BC ma długość $a$, a bok BA jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC, ma zatem długość $2R$.
Zatem: $\sin \alpha={a \over 2R}$.
Zatem:${a \over \sin \alpha}=2R$
Analogicznie udowadniamy, że: ${b \over \sin \beta}=2R$ i ${c \over \sin \gamma}=2R$
co kończy dowód.
Trójkąt nie jest prostokątny:
Na okręgu opisanym na trójkącie ABC obieramy taki punkt A', że środek okręgu leży na odcinku A'B.
Kąt BA'C oznaczmy jako $\alpha'$. Kąt ten jest oparty na łuku BC, tak samo jak kąt $\alpha$, zatem są one równej miary: $\alpha'=\alpha$.
Kąt A'CB jako kąt opisany na pół-okręgu jest kątem prostym, zatem trójkąt A'CB jest prostokątny.
Sinus kąta BA'C to z definicji stosunek długości boku BC do długości boku BA': $\sin \alpha'={BC \over BA'$.
Bok BC ma długość $a$, a bok BA' jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC, ma zatem długość $2R$.
Zatem: $\sin \alpha'={a \over 2R}$.
Wiemy także, że: $\alpha=\alpha' \Rightarrow \sin \alpha=\sin \alpha'$
Czyli: $\sin \alpha={a \over 2R}$
Zatem:${a \over \sin \alpha}=2R$
Analogicznie udowadniamy, że: ${b \over \sin \beta}=2R$ i ${c \over \sin \gamma}=2R$
co kończy dowód.