Twierdzenie Stewarta

Treść twierdzenia:

Jeżeli z jednego z wierzchołków trójkąta poprowadzimy odcinek do dowolnego punktu na przeciwległym boku to długość tego odcinka wyrażona jest wzorem:

(1)
\begin{align} u= \sqrt{{b^2 x+c^2 y \over a}-xy} \Leftrightarrow u^2a =b^2 x+c^2 y-axy \end{align}

Gdzie $u$, $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ to długości odcinków oznaczone na rysunku.

tw_stewarta.png

Dowód:

Z twierdzenia cosinusów wiemy, że:

(2)
\begin{align} \left \{ { b^2=u^2+y^2-2uy\cos\alpha \atop c^2=u^2+x^2-2ux\cos\beta } \right \end{align}

Wiemy także, że $\alpha+\beta=\pi \Leftrightarrow \beta=\pi-\alpha$

Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że $\cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha$

Zatem:

(3)
\begin{align} \left \{ { b^2=u^2+y^2-2uy\cos\alpha \atop c^2=u^2+x^2+2ux\cos\alpha } \right \end{align}

Mnożymy stronami pierwsze i drugie równanie odpowiednio przez $x$ i $y$. Otrzymujemy:

(4)
\begin{align} \left \{ { b^2x=u^2x+y^2x-2uxy\cos\alpha \atop c^2y=u^2y+x^2y+2uxy\cos\alpha } \right \end{align}

Dodajemy równania stronami, otrzymujemy:

(5)
\begin{align} b^2x+c^2y=u^2\left(x+y\right)+y^2x+x^2y \end{align}

Po drobnym przekrztałceniu otrzymujemy:

(6)
\begin{align} b^2x+c^2y=u^2\left(x+y\right)+\left(x+y\right)xy \end{align}

Odejmujemy $(x+y)xy$ od obu stron:

(7)
\begin{equation} u^2(x+y)=b^2x+c^2y-(x+y)xy \end{equation}

Następnie musimy zauważyć, że $x+y=a$. Zatem podstawiamy:

(8)
\begin{equation} u^2a=b^2x+c^2y-axy \end{equation}

I otrzymujemy szukaną równość, co kończy dowód.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License