Twierdzenie Stewarta
Treść twierdzenia:
Jeżeli z jednego z wierzchołków trójkąta poprowadzimy odcinek do dowolnego punktu na przeciwległym boku to długość tego odcinka wyrażona jest wzorem:
(1)\begin{align} u= \sqrt{{b^2 x+c^2 y \over a}-xy} \Leftrightarrow u^2a =b^2 x+c^2 y-axy \end{align}
Gdzie $u$, $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ to długości odcinków oznaczone na rysunku.
Dowód:
Z twierdzenia cosinusów wiemy, że:
(2)\begin{align} \left \{ { b^2=u^2+y^2-2uy\cos\alpha \atop c^2=u^2+x^2-2ux\cos\beta } \right \end{align}
Wiemy także, że $\alpha+\beta=\pi \Leftrightarrow \beta=\pi-\alpha$
Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że $\cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha$
Zatem:
(3)\begin{align} \left \{ { b^2=u^2+y^2-2uy\cos\alpha \atop c^2=u^2+x^2+2ux\cos\alpha } \right \end{align}
Mnożymy stronami pierwsze i drugie równanie odpowiednio przez $x$ i $y$. Otrzymujemy:
(4)\begin{align} \left \{ { b^2x=u^2x+y^2x-2uxy\cos\alpha \atop c^2y=u^2y+x^2y+2uxy\cos\alpha } \right \end{align}
Dodajemy równania stronami, otrzymujemy:
(5)\begin{align} b^2x+c^2y=u^2\left(x+y\right)+y^2x+x^2y \end{align}
Po drobnym przekrztałceniu otrzymujemy:
(6)\begin{align} b^2x+c^2y=u^2\left(x+y\right)+\left(x+y\right)xy \end{align}
Odejmujemy $(x+y)xy$ od obu stron:
(7)\begin{equation} u^2(x+y)=b^2x+c^2y-(x+y)xy \end{equation}
Następnie musimy zauważyć, że $x+y=a$. Zatem podstawiamy:
(8)\begin{equation} u^2a=b^2x+c^2y-axy \end{equation}
I otrzymujemy szukaną równość, co kończy dowód.
wersja strony: 11, ostatnia edycja: 25 Mar 2009 16:40