Wzór Brahmagupty:
Zwany też wzorem Herona dla czworokąta. Można go zastosować tylko, jeżleli czworokąt da się wpisać w okrąg:
(1)
\begin{align} S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \end{align}
Dowód:
Pole czworokąta możemy wyrazić, jako sumę pól trójkątów powstałych przez dorysowanie przekątnej:
(2)
\begin{equation} S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD} \end{equation}
Ze wzorów na pole trójkąta możemy zapisać następującą równość:
(3)
\begin{align} S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha+\frac{1}{2}cd\sin\beta \end{align}
Ponad to, aby opisać okrąg na czworokącie musi być spełniona następująca równość: $\beta=\pi-\alpha$.
Wiemy także, ze wzorów redukcyjnych, że $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$, zatem $\sin\beta=\sin\alpha$, więc:
(4)
\begin{align} S=\frac{1}{2}\sin\alpha(ab+cd) \end{align}
Poza tym z twierdzenia cosinusów wiemy, że:
(5)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} e^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\\ e^2=c^2+d^2-2cd\cos\beta \end{array} \right. \end{align}
Wiemy także, ze wzorów redukcyjnych, że $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, zatem $\cos\beta=-\cos\alpha$, więc:
(6)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} e^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\\ e^2=c^2+d^2+2cd\cos\alpha \end{array} \right. \end{align}
Odejmijmy równania stronami:
(7)
\begin{align} 0=a^2+b^2-c^2-d^2-2ab\cos\alpha-2cd\cos\alpha \end{align}
(8)
\begin{align} 2\cos\alpha(ab+cd)=a^2+b^2-c^2-d^2 \end{align}
(9)
\begin{align} \cos\alpha=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)} \end{align}
Z zależności funkcji trygonometrycznych wiemy, że $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$.
Podstawiając do wzoru na pole otrzymujemy:
(10)
\begin{align} S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-\cos^2\alpha} \end{align}
Za $\cos\alpha$ podstawiamy wyliczoną wartość:
(11)
\begin{align} S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\right)^2} \end{align}
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia przekształcamy:
(12)
\begin{align} S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{\left(1-\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\right)\left(1+\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\right)} \end{align}
(13)
\begin{align} S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{\left(\frac{2(ab+cd)-a^2-b^2+c^2+d^2}{2(ab+cd)}\right)\left(\frac{2(ab+cd)+a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\right)} \end{align}
(14)
\begin{align} S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{\frac{\left(c^2+2cd+d^2-(a^2-2ab+b^2)\right)\left(a^2+2ab+b^2-(c^2-2cd+d^2)\right)}{(2(ab+cd))^2}} \end{align}
(15)
\begin{align} S=\frac{1}{2}(ab+cd)\frac{\sqrt{\left((c+d)^2-(a-b)^2\right)\left((a+b)^2-(c-d)^2\right)}}{2(ab+cd)} \end{align}
(16)
\begin{align} S=\frac{\sqrt{(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}{4} \end{align}
(17)
\begin{align} S=\sqrt{\frac{(a+b+c+d-2a)(a+b+c+d-2b)(a+b+c+d-2c)(a+b+c+d-2d)}{16}} \end{align}
(18)
\begin{align} S=\sqrt{\frac{(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)(2p-2d)}{16}} \end{align}
(19)
\begin{align} S=\sqrt{\frac{16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{16}} \end{align}
(20)
\begin{align} S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \end{align}
Otrzymaliśmy wzór Brahmagupty.
Dodatkowo
jeżeli w czworokąt da się wpisać okrąg wzór znacznie się upraszcza:
(21)
\begin{align} S=\sqrt{abcd} \end{align}
Dowód:
Aby wpisać okrąg w czworokąt musi być spełniona następująca równość: $a+c=b+d$.
Zatem połowa obwodu może być wyrażona w następujący sposób:
$p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$
$p=\frac{1}{2}(a+c+a+c)=\frac{1}{2}(b+d+b+d)$
$p=(a+c)=(b+d)$
Podstawiając do wzoru Brahmagupty otrzymujemy:
(22)
\begin{align} S=\sqrt{(a+c-a)(b+d-b)(a+c-c)(b+d-d)} \end{align}
(23)
\begin{align} S=\sqrt{abcd} \end{align}
Otrzymaliśmy nasz wzór.
Mając dane długości boków i kąt między przekątnymi:
Kąt różny od $\frac{\pi}{2}$:
Boki $b$ i $d$ leżą naprzeciw kątów o mierze $\alpha$.
(24)
\begin{align} S=\frac{1}{4}tg\alpha(a^2-b^2+c^2-d^2) \end{align}
Dowód:
Pole czworokąta możemy wyrazić, jako sumę pól trójkątów powstałych przez dorysowanie przekątnych:
(25)
\begin{equation} S_{ABCD}=S_{ABE}+S_{BCE}+S_{CDE}+S_{DAE} \end{equation}
Ze wzorów na pole trójkąta możemy zapisać następującą równość:
(26)
\begin{align} S=\frac{1}{2}e'f'\sin\alpha+\frac{1}{2}e''f'\sin\beta+\frac{1}{2}e''f''\sin\alpha+\frac{1}{2}e'f''\sin\beta \end{align}
Ponad to $\beta=\pi-\alpha$. A ze wzorów redukcyjnych wiemy, że $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$, zatem $\sin\beta=\sin\alpha$, więc:
(27)
\begin{align} S=\frac{1}{2}\sin\alpha(e'f'+e''f'+e''f''+e'f'') \end{align}
(28)
\begin{align} S=\frac{1}{2}\sin\alpha(e'(f'+f'')+e''(f'+f'')) \end{align}
(29)
\begin{align} S=\frac{1}{2}\sin\alpha(e'+e'')(f'+f'') \end{align}
(30)
\begin{align} S=\frac{1}{2}ef\sin\alpha \end{align}
gdzie $e$ i $f$ to długości przekątnych.
Poza tym z twierdzenia cosinusów wiemy, że:
(31)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a^2=e'^2+f'^2-2e'f'\cos\beta\\ b^2=e''^2+f'^2-2e''f'\cos\alpha\\ c^2=e''^2+f''^2-2e''f''\cos\beta\\ d^2=e'^2+f''^2-2e'f''\cos\alpha \end{array} \right. \end{align}
Wiemy także, ze wzorów redukcyjnych, że $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, zatem $\cos\beta=-\cos\alpha$, więc:
(32)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a^2=e'^2+f'^2+2e'f'\cos\alpha\\ b^2=e''^2+f'^2-2e''f'\cos\alpha\\ c^2=e''^2+f''^2+2e''f''\cos\alpha\\ d^2=e'^2+f''^2-2e'f''\cos\alpha \end{array} \right. \end{align}
Odejmijmy równania (pierwsze i drugie, oraz trzecie i czwarte) stronami:
(33)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a^2-b^2=e'^2+f'^2-e''^2-f'^2+2e'f'\cos\alpha+2e''f'\cos\alpha\\ c^2-d^2=e''^2+f''^2-e'^2-f''^2+2e''f''\cos\alpha+2e'f''\cos\alpha \end{array} \right. \end{align}
(34)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a^2-b^2=e'^2-e''^2+2\cos\alpha(e'f'+e''f')\\ c^2-d^2=e''^2-e'^2+2\cos\alpha(e''f''+e'f'') \end{array} \right. \end{align}
(35)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a^2-b^2=(e'-e'')(e'+e'')+2f'\cos\alpha(e'+e'')\\ c^2-d^2=(e''-e')(e'+e'')+2f''\cos\alpha(e'+e'') \end{array} \right. \end{align}
(36)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a^2-b^2=e(e'-e''+2f'\cos\alpha)\\ c^2-d^2=e(e''-e'+2f''\cos\alpha) \end{array} \right. \end{align}
Dodajmy równania stronami:
(37)
\begin{align} a^2-b^2+c^2-d^2=e(e'-e''+2f'\cos\alpha+e''-e'+2f''\cos\alpha) \end{align}
(38)
\begin{align} a^2-b^2+c^2-d^2=e(2\cos\alpha(f'+f'')) \end{align}
(39)
\begin{align} a^2-b^2+c^2-d^2=2ef\cos\alpha \end{align}
(40)
\begin{align} ef=\frac{a^2-b^2+c^2-d^2}{2\cos\alpha} \end{align}
Zatem podstawiając do wzoru na pole otrzymujemy:
(41)
\begin{align} S=\frac{1}{2}\sin\alpha\frac{a^2-b^2+c^2-d^2}{2\cos\alpha} \end{align}
(42)
\begin{align} S=\frac{\sin\alpha(a^2-b^2+c^2-d^2)}{4\cos\alpha} \end{align}
(43)
\begin{align} S=\frac{1}{4}tg\alpha(a^2-b^2+c^2-d^2) \end{align}
Otrzymaliśmy wzór końcowy.