Zadania na piątek 03 kwietnia 2009

Zadanie 1.

Zadanie 1.10 - Zbiór zadań kl. 2 (160)

Przekształcenia T i S płaszczyzny określają odpowiednio wzory:

(1)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=2x-y\\ y'=3x-2y \end{array} \right. \end{align}
(2)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=3x-y+4\\ y'=4x-2y \end{array} \right. \end{align}
a) Wyznacz punkty stałe tych przekształceń.

Przekrztałcenie T:

(3)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x=2x-y\\ y=3x-2y \end{array} \right. \end{align}
(4)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} y=x\\ 3y=3x \end{array} \right. \end{align}
(5)
\begin{equation} y=x \end{equation}

Punkty stałe tego przekształcenia stanowi prosta y=x.

—-

Przekształcenie S:

(6)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x=3x-y+4\\ y=4x-2y \end{array} \right. \end{align}
(7)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} 2x-y+4=0\\ 3y=4x \end{array} \right. \end{align}
(8)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} 2x-y+4=0\\ y=\frac{4}{3}x \end{array} \right. \end{align}
(9)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} 2x-\frac{4}{3}x=-4\\ y=\frac{4}{3}x \end{array} \right. \end{align}
(10)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} \frac{2}{3}x=-4\\ y=\frac{4}{3}x \end{array} \right. \end{align}
(11)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x=-6\\ y=\frac{4}{3}x \end{array} \right. \end{align}
(12)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x=-6\\ y=-8 \end{array} \right. \end{align}

Punktem stałym dla tego przekształcenia jest punkt (-6, -8).


b) Jakie wzory określają przekształcenia ST i TS?

Przekształcenie ST:

(13)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=3(2x-y)-(3x-2y)+4\\ y'=4(2x-y)-2(3x-2y) \end{array} \right. \end{align}
(14)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=6x-3y-3x+2y+4\\ y'=8x-4y-6x+4y \end{array} \right. \end{align}
(15)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=3x-y+4\\ y'=2x \end{array} \right. \end{align}

Zatem przekształcenie ST określone jest następującym wzorem:

(16)
\begin{equation} ST(x, y)=(3x-y+4, 2x) \end{equation}

—-

Przekształcenie TS:

(17)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=2(3x-y+4)-(4x-2y)\\ y'=3(3x-y+4)-2(4x-2y) \end{array} \right. \end{align}
(18)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=6x-2y+8-4x+2y\\ y'=9x-3y+12-8x+4y \end{array} \right. \end{align}
(19)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=2x+8\\ y'=x+y+12 \end{array} \right. \end{align}

Zatem przekształcenie TS określone jest następującym wzorem:

(20)
\begin{equation} TS(x, y)=(2x+8, x+y+12) \end{equation}

c) Jakie wzory określają przekształcenia T-1 i S-1?

Przekształcenie T-1:

(21)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=2x-y\\ y'=3x-2y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l l} 2x'=4x-2y\\ y'=3x-2y \end{array} \right. \wedge \left\{\begin{array}{l l} \frac{3}{2}x'=3x-\frac{3}{2}y\\ y'=3x-2y \end{array} \right. \end{align}

Oba powstałe układy równań odejmujemy stronami:

(22)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} 2x'-y'=x\\ \frac{3}{2}x'-y'=-\frac{3}{2}y+2y \end{array} \right. \end{align}
(23)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x=2x'-y'\\ \frac{3}{2}x'-y'=\frac{1}{2}y \end{array} \right. \end{align}
(24)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x=2x'-y'\\ y=3x'-2y' \end{array} \right. \end{align}

Zatem przekształcenie T-1 określone jest następującym wzorem:

(25)
\begin{equation} T^{-1}(x, y)=(2x-y, 3x-2y) \end{equation}

—-

Przekształcenie S-1:

(26)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=3x-y+4\\ y'=4x-2y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l l} 2x'=6x-2y+8\\ y'=4x-2y \end{array} \right. \wedge \left\{\begin{array}{l l} \frac{4}{3}x'=4x-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\\ y'=4x-2y \end{array} \right. \end{align}

Oba powstałe układy równań odejmujemy stronami:

(27)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} 2x'-y'=2x+8\\ \frac{4}{3}x'-y'=-\frac{4}{3}y+2y+\frac{16}{3} \end{array} \right. \end{align}
(28)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} 2x=2x'-y'-8\\ \frac{2}{3}y=\frac{4}{3}x'-y'-\frac{16}{3} \end{array} \right. \end{align}
(29)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x=x'-\frac{1}{2}y'-4\\ y=2x'-\frac{3}{2}y'-8 \end{array} \right. \end{align}

Zatem przekształcenie S-1 określone jest następującym wzorem:

(30)
\begin{align} S^{-1}(x, y)=(x-\frac{1}{2}y-4, 2x-\frac{3}{2}y-8) \end{align}


Zadanie 2.

Zadanie 1.11 - Zbiór zadań kl. 2 (161)

Napisz równanie obrazu prostej o rownaniu $2x+y-1=0$ w przekształceniu T płaszczyzny określonym wzorami:

(31)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=x+y-2\\ y'=2x+3y-6 \end{array} \right. \end{align}
(32)
\begin{equation} 2(x+y-2)+(2x+3y-6)-1=0 \end{equation}
(33)
\begin{equation} 2x+2y-4+2x+3y-6-1=0 \end{equation}
(34)
\begin{equation} 4x+5y-11=0 \end{equation}

Prosta $2x+y-1=0$ w przkształceniu T określona jest wzorem: $4x+5y-11=0$



Zadanie 3.

Zadanie 2.1 - Zbiór zadań kl. 2 (161)

Wykaż, że przekształcenie tożsamościowe płaszczyzny jest izometrią.

Z definicji przekształcenia tożsamościowego T(A)=A i T(B)=B, dla dowolnych punktów A i B.

Zatem wektor $\vec{AB}$ w przekrztałceniu T przechodzi na samego siebie: $T(\vec{AB})=\vec{AB}$.

Zatem odległość dowolnej pary punktów jest stała, więc jest to izometria.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License