Zadania na wtorek 07 kwietnia 2009

Zadanie 1.

Zadanie 2.3 - Zbiór zadań kl. 2 (161)

Czy przekrztałcenie płaszczyzny na płaszczyznę, w którym obrazem punktu P jest punkt P', jest izometrią, gdy:

Odległość dwóch dowolnych punktów $P_1=(x_1;y_1)$ i $P_2=(x_2;y_2)$ dwfiniowana jest następującym wzorem:

(1)
\begin{align} P_1P_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align}
a) $P=(x;y), P'=(-y;x+2)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(2)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(-y_1+y_2)^2+(x_1+2-x_2-2)^2} \end{align}
(3)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(y_1-y_2)^2+(x_1-x_2)^2}=P_1P_2 \end{align}

Zatem to przekształcenie jest izometrią.


b) $P=(x;y), P'=(-x+2;-y-2)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(4)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(-x_1+2+x_2-2)^2+(-y_1-2+y_2+2)^2} \end{align}
(5)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=P_1P_2 \end{align}

Zatem to przekształcenie jest izometrią.


c) $P=(x;y), P'=(-y;1)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(6)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(-y_1+y_2)^2+(1-1)^2} \end{align}
(7)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(y_1-y_2)^2}\neq P_1P_2 \end{align}

Zatem to przekształcenie nie jest izometrią.


d) $P=(x;y), P'=(\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y);\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y))$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(8)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1-y_1)-\frac{1}{\sqrt{2}}(x_2-y_2))^2+(\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1+y_1)-\frac{1}{\sqrt{2}}(x_2+y_2))^2} \end{align}
(9)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1-y_1-x_2+y_2))^2+(\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1+y_1-x_2-y_2))^2} \end{align}
(10)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{\frac{1}{2}((x_1-x_2)-(y_1-y_2))^2+\frac{1}{2}((x_1-x_2)+(y_1-y_2))^2} \end{align}
(11)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{\frac{1}{2}\left((x_1-x_2)^2-2(x_1-x_2)(y_1-y_2)+(y_1-y_2)^2+(x_1-x_2)^2+2(x_1-x_2)(y_1-y_2)+(y_1-y_2)^2\right)} \end{align}
(12)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{\frac{1}{2}\left(2(x_1-x_2)^2+2(y_1-y_2)^2\right)} \end{align}
(13)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=P_1P_2 \end{align}

Zatem to przekształcenie jest izometrią.


e) $P=(x;y), P'=(2x;3y)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(14)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(2x_1+2x_2)^2+(3y_1-3y_2)^2} \end{align}
(15)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{4(x_1+x_2)^2+9(y_1-y_2)^2}\neq P_1P_2 \end{align}

Zatem to przekształcenie nie jest izometrią.



Zadanie 2.

Zadanie 2.4 - Zbiór zadań kl. 2 (161)

a) Czy przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, w którym obrazem okręgu O((1;2);3) jest okrąg O(1;2);6) jest izometrią?

Nie jako, iż odległość na przykład punkt (1;5) leżący na okręgu przejdzie na punkt (1;8). Zatem odległość środka okręgu (1;2) od tego punktu nie będzie stała.


b) Czy przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, w którym obrazem kwadratu o boku długości 10 jest okrąg o promieniu długości 1 jest izometrią?

Nie jako, iż odległość dwóch wierzchołków kwadratu wynosi 10, a największa odległość między parą punktów w okręgu o promieniu 1 to 1. Zatem odległość między tymi dwoma punktami na pewno nie będzie stała.



Zadanie 3.

Zadanie 2.5 - Zbiór zadań kl. 2 (161)

Dla jakich wartości a przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, w którym obrazem dowolnego punktu $P=(x;y)$ jest punkt P', taki, że: … jest izometrią?

Odległość dwóch dowolnych punktów $P_1=(x_1;y_1)$ i $P_2=(x_2;y_2)$ dwfiniowana jest następującym wzorem:

(16)
\begin{align} P_1P_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align}
a) $P'=(x-a;y)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(17)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-a-x_2+a)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align}
(18)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=P_1P_2 \end{align}

Dla dowolnego a przekształcenie to jest izometrią.


b) $P'=(x+a;-y)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(19)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1+a-x_2-a)^2+(-y_1+y_2)^2} \end{align}
(20)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=P_1P_2 \end{align}

Dla dowolnego a przekształcenie to jest izometrią.


c) $P'=(a;a)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(21)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(a-a)^2+(a-a)^2} \end{align}
(22)
\begin{align} P_1'P_2'=0\neq P_1P_2 \end{align}

Dla żadnego a przekształcenie to nie jest izometrią.


d) $P'=(x+1;y+a^2;)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(23)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1+1-x_2-1)^2+(y_1+a^2-y_2-a^2)^2} \end{align}
(24)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=P_1P_2 \end{align}

Dla dowolnego a przekształcenie to jest izometrią.


e) $P'=(1;a)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(25)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(1-1)^2+(a-a)^2} \end{align}
(26)
\begin{align} P_1'P_2'=0\neq P_1P_2 \end{align}

Dla żadnego a przekształcenie to nie jest izometrią.


f) $P'=(x^2;y+a;)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(27)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1^2-x_2^2)^2+(y_1-a-y_2+a)^2} \end{align}
(28)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{((x_1-x_2)(x_1+x_2))^2+(y_1-y_2)^2}\neq P_1P_2 \end{align}

Dla żadnego a przekształcenie to nie jest izometrią.


g) $P'=(2x;y-a)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(29)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(2x_1-2x_2)^2+(y_1-a-y_2+a)^2} \end{align}
(30)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{4(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\neq P_1P_2 \end{align}

Dla żadnego a przekształcenie to nie jest izometrią.


h) $P'=((x+a)^2;y)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(31)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{((x_1+a)^2-(x_2+a)^2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align}
(32)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{((x_1+a+x_2+a)(x_1+a-x_2-a))^2+(y_1-y_2)^2} \end{align}
(33)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{((x_1+x_2+2a)(x_1-x_2))^2+(y_1-y_2)^2} \end{align}
(34)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1+x_2+2a)^2(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{align}

$(x_1+x_2+2a)^2$ musiało by być równe 1, aby przekształcenie było izometrią, jednak jest tak tylko dla niektórych punktów, zatem:

Dla żadnego a przekształcenie to nie jest izometrią.


i) $P'=(x-a^2;y+1)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(35)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-a^2-x_2+a^2)^2+(y_1+1-y_2-1)^2} \end{align}
(36)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=P_1P_2 \end{align}

Dla dowolnego a przekształcenie to jest izometrią.


j) $P'=(x-a;y-a)$

Odległość punktów P1' i P2' określona jest następującym wzorem:

(37)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-a-x_2+a)^2+(y_1-a-y_2+a)^2} \end{align}
(38)
\begin{align} P_1'P_2'=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=P_1P_2 \end{align}

Dla dowolnego a przekształcenie to jest izometrią.



Zadanie 4.

Zadanie 2.6 - Zbiór zadań kl. 2 (161)

W pewnej izometrii obrazem punktu $A=(4;6)$ jest punkt $A'=(x;6)$, a obrazem punktu $B=(1;2)$ kest punkt $B'=(3;2)$. Wyznacz x.

Odległość dwóch punktów $A=(4;6)$ i $B=(1;2)$ dwfiniowana jest następującym wzorem:

(39)
\begin{align} AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} \end{align}
(40)
\begin{align} AB=\sqrt{(3)^2+(4)^2} \end{align}
(41)
\begin{align} AB=\sqrt{9+16} \end{align}
(42)
\begin{align} AB=\sqrt{25} \end{align}
(43)
\begin{equation} AB=5 \end{equation}

A z załorzenia wiemy, że odległość punktów $A'=(x;6)$ i $B'=(3;2)$ także równa jest 5, zatem:

(44)
\begin{align} 5=\sqrt{(x-3)^2+(6-2)^2} \end{align}
(45)
\begin{align} 5=\sqrt{(x-3)^2+(4)^2} \end{align}
(46)
\begin{align} 5=\sqrt{(x-3)^2+16} \end{align}
(47)
\begin{align} 25=|(x-3)^2+16|\wedge (x-3)^2\geq 0\Rightarrow (x-3)^2+16>0 \end{align}
(48)
\begin{equation} 25=(x-3)^2+16 \end{equation}
(49)
\begin{equation} (x-3)^2=9 \end{equation}
(50)
\begin{equation} |x-3|=3 \end{equation}
(51)
\begin{align} x-3=3\vee x-3=-3 \end{align}
(52)
\begin{align} x=6\vee x=0 \end{align}
(53)
\begin{align} x\in\{0; 6\} \end{align}


Zadanie 5.

Zadanie 2.7 - Zbiór zadań kl. 2 (161)

Dla jakich wartości a przekształcenia T płaszczyzny na płaszczyznę określonej wzorami:

(54)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} x'=(a^2-a+1)x\\ y'=(a^2-2)y \end{array} \right. \end{align}

jest izometrią?

Z definicji izometrii odległości między punktami muszą być równe, zatem:

(55)
\begin{align} \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(x_1'-x_2')^2+(y_1'-y_2')^2} \end{align}

Wiedząc, że odległości między punktami sa nieujemne możemy zapisać:

(56)
\begin{equation} (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(x_1'-x_2')^2+(y_1'-y_2')^2 \end{equation}
(57)
\begin{equation} (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=((a^2-a+1)x_1-(a^2-a+1)x_2)^2+((a^2-2)y_1-(a^2-2)y_2)^2 \end{equation}
(58)
\begin{equation} (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=((a^2-a+1)(x_1-x_2))^2+((a^2-2)(y_1-y_2))^2 \end{equation}
(59)
\begin{equation} (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(a^2-a+1)^2(x_1-x_2)^2+(a^2-2)^2(y_1-y_2)^2 \end{equation}

Równanie będzie spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione będzie poniższe równanie:

(60)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} (a^2-a+1)^2=1\\ (a^2-2)^2=1 \end{array} \right. \end{align}
(61)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} |a^2-a+1|=1\\ |a^2-2|=1 \end{array} \right. \end{align}
(62)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a^2-a+1=1\vee a^2-a+1=-1\\ a^2-2=1\vee a^2-2=-1 \end{array} \right. \end{align}
(63)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a^2-a=0\vee a^2-a=-2\\ a^2=3\vee a^2=1 \end{array} \right. \end{align}
(64)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a(a-1)=0\vee (a-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=-2\\ |a|=\sqrt{3}\vee |a|=1 \end{array} \right. \end{align}
(65)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a=0\vee a-1=0\vee (a-\frac{1}{2})^2=-\frac{7}{4}\\ a=\sqrt{3}\vee a=-\sqrt{3}\vee a=1\vee a=-1 \end{array} \right. \end{align}
(66)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a=0\vee a=1\vee |a-\frac{1}{2}|=\frac{\sqrt{-7}}{2}\\ a\in\{-\sqrt{3}; -1; 1; \sqrt{3}\} \end{array} \right. \end{align}
(67)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} a\in{0; 1}\vee a\in\mathbb{IR}\\ a\in\{-\sqrt{3}; -1; 1; \sqrt{3}\} \end{array} \right. \end{align}

Zatem jedyne poprawne a równe jest 1:

(68)
\begin{equation} a=1 \end{equation}
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License