Zadania na czwartek 16 kwietnia 2009

Zadanie 1.

Dane są punkty na płaszczyźnie A,B,C,D. Udowodnij, że:

(1)
\begin{align} |AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2\ge|AC|^2+|BD|^2 \end{align}

Rozwiązanie:

Niech punkty A,B,C i D na mają na płaszczyźnie współrzędne:

A=(xa;ya), B=(xb;yb), C=(xc;yc), D=(xd;yd)

Pamiętając, że odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie wynosi(w ogólności):

(2)
\begin{align} X=(x_1;y_1)\wedge Y=(x_2;y_2)\Rightarrow|XY|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \end{align}

Możemy zapisać:

(3)
\begin{align} |AB|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2} \end{align}
(4)
\begin{equation} |AB|^2=|(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2| \end{equation}

Wiedząc, że suma kwadratów dowolnych liczb rzeczywistych jest nieujemna możemy pominąć wartości bezwzględne:

(5)
\begin{align} |AB|^2=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2\\ \end{align}

Analogicznie:

(6)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} |AB|^2=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2\\ |BC|^2=(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2\\ |CD|^2=(x_d-x_c)^2+(y_d-y_c)^2\\ |DA|^2=(x_a-x_d)^2+(y_a-y_d)^2\\ |AC|^2=(x_c-x_a)^2+(y_c-y_a)^2\\ |BD|^2=(x_d-x_b)^2+(y_d-y_b)^2 \end{array} \right. \end{align}

Obliczmy teraz wartość e dla następującego wyrażenia (dla dowolnych rzeczywistych a, b, c, d):

(7)
\begin{equation} e=(b-a)^2+(c-b)^2+(d-c)^2+(a-d)^2-(c-a)^2-(d-b)^2 \end{equation}
(8)
\begin{equation} e=b^2-2ab+a^2+c^2-2bc+b^2+d^2-2cd+c^2+a^2-2ad+d^2-c^2+2ac-a^2-d^2+2bd-b^2 \end{equation}
(9)
\begin{equation} e=a^2+b^2+c^2+d^2-2ab-2bc-2cd-2ad+2ac+2bd \end{equation}
(10)
\begin{equation} e=a^2+2ac+c^2-2a(b+d)-2c(b+d)+b^2+2bd+d^2 \end{equation}
(11)
\begin{equation} e=(a+c)^2-2(a+c)(b+d)+(b+d)^2 \end{equation}
(12)
\begin{align} e=(a+c-b-d)^2\Rightarrow e\geq 0 \end{align}

Zatem dla dowolnych rzeczywistych a, b, c, d wyrażenie $(b-a)^2+(c-b)^2+(d-c)^2+(a-d)^2-(c-a)^2-(d-b)^2$ jest nieujemne, zatem:

(13)
\begin{align} \left\{\begin{array}{l l} (x_b-x_a)^2+(x_c-x_b)^2+(x_d-x_c)^2+(x_a-x_d)^2-(x_c-x_a)^2-(x_d-x_b)^2\geq 0\\ (y_b-y_a)^2+(y_c-y_b)^2+(y_d-y_c)^2+(y_a-y_d)^2-(y_c-y_a)^2-(y_d-y_b)^2\geq 0 \end{array} \right. \end{align}

Zatem ich suma jest nieujemna, ponadto jest równa wyrażeniu $|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2-|AC|^2-|BD|^2$. Toteż:

(14)
\begin{align} |AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2-|AC|^2-|BD|^2\ge0 \end{align}
(15)
\begin{align} |AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2\ge|AC|^2+|BD|^2 \end{align}

Co kończy dowód.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License