Zadania na wtorek 31 marca 2009
Zadanie 1.
Udowodnij wzór de Moivre'a
Liczba zespolona $z$ wyrażona jest następującym wzorem:
(1)\begin{align} z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha) \end{align}
Wiedząc, że $z^n=|z|^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)$ obliczmy wartość $z^{n+1}$
Korzystając ze wzoru na iloczyn liczb zespolonych wiemy, że:
(2)\begin{align} z^{n+1}=z\cdot z^n=|z|\cdot|z|^n(\cos(n\alpha+\alpha)+i\sin(n\alpha+\alpha)) \end{align}
(3)
\begin{align} z^{n+1}=|z|^{n+1}(\cos(n+1)\alpha+i\sin(n+1)\alpha) \end{align}
Z tego wynika, na zasadzie indukcji matematycznej prawdziwość twierdzenia de Moivre'a.
Zadanie 2.
Wyznacz wartości $\sin5\alpha$ i $\cos5\alpha$
Ze wzoru na sin i cos kąta $n\alpha$ możemy prosto wyznaczyć szukane wzory:
(4)\begin{align} \sin5\alpha=5\cos^4\alpha\sin\alpha-10cos^2\alpha\sin^3\alpha+sin^5\alpha \end{align}
(5)
\begin{align} \cos5\alpha=\cos^5\alpha-10\cos^3\alpha\sin^2\alpha+5\cos\alpha\sin^4\alpha \end{align}
wersja strony: 1, ostatnia edycja: 02 Apr 2009 18:22