Zadania na wtorek 31 marca 2009

Zadanie 1.

Udowodnij wzór de Moivre'a

Liczba zespolona $z$ wyrażona jest następującym wzorem:

(1)
\begin{align} z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha) \end{align}

Wiedząc, że $z^n=|z|^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)$ obliczmy wartość $z^{n+1}$

Korzystając ze wzoru na iloczyn liczb zespolonych wiemy, że:

(2)
\begin{align} z^{n+1}=z\cdot z^n=|z|\cdot|z|^n(\cos(n\alpha+\alpha)+i\sin(n\alpha+\alpha)) \end{align}
(3)
\begin{align} z^{n+1}=|z|^{n+1}(\cos(n+1)\alpha+i\sin(n+1)\alpha) \end{align}

Z tego wynika, na zasadzie indukcji matematycznej prawdziwość twierdzenia de Moivre'a.


Zadanie 2.

Wyznacz wartości $\sin5\alpha$ i $\cos5\alpha$

Ze wzoru na sin i cos kąta $n\alpha$ możemy prosto wyznaczyć szukane wzory:

(4)
\begin{align} \sin5\alpha=5\cos^4\alpha\sin\alpha-10cos^2\alpha\sin^3\alpha+sin^5\alpha \end{align}
(5)
\begin{align} \cos5\alpha=\cos^5\alpha-10\cos^3\alpha\sin^2\alpha+5\cos\alpha\sin^4\alpha \end{align}

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License