Zależności w czworokącie

Aby na czworokącie dało się opisać okrąg:

Sumy miar przeciwległych kątów muszą być sobie równe:

(1)
\begin{align} \alpha+\gamma=\beta+\delta \end{align}

Wiadomo także, że $\alpha+\gamma+\beta+\delta=2\pi$, z czego wynika:

(2)
\begin{align} \alpha+\gamma=\beta+\delta=\pi \end{align}

Aby w czworokąt dało się wpisać okrąg:

Sumy długości przeciwległych boków muszą być sobie równe:

(3)
\begin{equation} a+c=b+d \end{equation}

W równoległoboku:

czworokat_1.png

Podwojona suma kwadratów długości boków równa jest sumie kwadratów długości przekątnych:

(4)
\begin{equation} 2(a^2+b^2)=e^2+f^2 \end{equation}

Dowód:

Z twierdzenia cosinusów wiemy, że:

(5)
\begin{align} \left\{\begin{array}{rcl} a^2=\left(\frac{e}{2}\right)^2+\left(\frac{f}{2}\right)^2-2\left(\frac{e}{2}\right)\left(\frac{f}{2}\right)\cos\alpha\\ b^2=\left(\frac{e}{2}\right)^2+\left(\frac{f}{2}\right)^2-2\left(\frac{e}{2}\right)\left(\frac{f}{2}\right)\cos\beta \end{array} \right. \end{align}
(6)
\begin{align} \left\{\begin{array}{rcl} a^2=\frac{e^2}{4}+\frac{f^2}{4}-\frac{1}{2}ef\cos\alpha\\ b^2=\frac{e^2}{4}+\frac{f^2}{4}-\frac{1}{2}ef\cos\beta \end{array} \right. \end{align}
(7)
\begin{align} \left\{\begin{array}{rcl} 2a^2=\frac{e^2+f^2}{2}-ef\cos\alpha\\ 2b^2=\frac{e^2+f^2}{2}-ef\cos\beta \end{array} \right. \end{align}

Ponad to $\beta=\pi-\alpha$. A ze wzorów redukcyjnych wiemy, że $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, zatem $\cos\beta=-\cos\alpha$, więc:

(8)
\begin{align} \left\{\begin{array}{rcl} 2a^2=\frac{e^2+f^2}{2}-ef\cos\alpha\\ 2b^2=\frac{e^2+f^2}{2}+ef\cos\alpha \end{array} \right. \end{align}

Dodamy równania stronami:

(9)
\begin{equation} 2(a^2+b^2)=e^2+f^2 \end{equation}

Otrzymaliśmy szukany wzór.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License