Zależności w trójkącie

Spis zależności:

(1)
\begin{align} \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r} \end{align}
(2)
\begin{align} \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r} \end{align}
(3)
\begin{equation} r_ar_br_cr=S^2 \end{equation}
(4)
\begin{equation} r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=p^2 \end{equation}
(5)
\begin{equation} r_a+r_b+r_c=4R+r \end{equation}

Wyprowadzenie:

Ze wzoru na pole trójkąta wiemy, że $S=\frac{1}{2}ah_a\Rightarrow \frac{1}{h_a}=\frac{a}{2S}$. Analogicznie $\frac{1}{h_b}=\frac{b}{2S}$ i $\frac{1}{h_c}=\frac{c}{2S}$. Toteż:

(6)
\begin{align} \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{p}{S} \end{align}

Wiemy także z kolejnego wzoru na pole trójkąta, że $S=pr\Rightarrow \frac{p}{S}=\frac{1}{r}$. Zatem:

(7)
\begin{align} \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r} \end{align}

Ze wzoru na pole trójkąta wiemy, że $S=r_a(p-a)\Rightarrow \frac{1}{r_a}=\frac{p-a}{S}$. Analogicznie $\frac{1}{r_b}=\frac{p-b}{S}$ i $\frac{1}{r_c}=\frac{p-c}{S}$. Toteż:

(8)
\begin{align} \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{p-a}{S}+\frac{p-b}{S}+\frac{p-c}{S}=\frac{3p-(a+b+c)}{S}=\frac{p}{S} \end{align}

A to identycznie jak w poprzednim przykładzie równe jest $\frac{1}{r}$, więc:

(9)
\begin{align} \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r} \end{align}

Ze wzorów na pole trójkąta wiemy, że $S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}$ i $S=r_a(p-a)\Rightarrow r_a=\frac{S}{p-a}$. Analogicznie $r_b=\frac{S}{p-b}$ i $r_c=\frac{S}{p-c}$, więc:

(10)
\begin{align} r_ar_br_cr=\frac{S}{p}\frac{S}{p-a}\frac{S}{p-b}\frac{S}{p-c}=\frac{S^4}{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{align}

Ze wzoru Herona wiemy, że $p(p-a)(p-b)(p-c)=S^2$. Zatem:

(11)
\begin{equation} r_ar_br_cr=S^2 \end{equation}

W poprzednim przykładzie wyprowadziliśmy wzory na ra, rb, rc. Podstawmy je do równania:

(12)
\begin{align} r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=\frac{S}{p-a}\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-b}\frac{S}{p-c}+\frac{S}{p-c}\frac{S}{p-a} \end{align}
(13)
\begin{align} r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=\frac{S^2}{(p-a)(p-b)}+\frac{S^2}{(p-b)(p-c)}+\frac{S^2}{(p-c)(p-a)} \end{align}

Ze wzoru Herona wiemy, że $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$. Zatem:

(14)
\begin{align} r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-a)(p-b)}+\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-b)(p-c)}+\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-c)(p-a)} \end{align}
(15)
\begin{equation} r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=p(p-c)+p(p-a)+p(p-b) \end{equation}
(16)
\begin{equation} r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=p(3p-(a+b+c))=p(3p-2p)=p(p) \end{equation}
(17)
\begin{equation} r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=p^2 \end{equation}

Korzystając z poprzednio wyprowadzonych wzorów, oraz wzoru na pole trójkąta ($S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow \frac{abc}{S}=4R$) przekrztałcimy wzór:

(18)
\begin{equation} r_a+r_b+r_c=r_a+r_b+r_c-r+r \end{equation}
(19)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c}-\frac{S}{p}+r \end{align}
(20)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{1}{S}\left(\frac{S^2}{p-a}+\frac{S^2}{p-b}+\frac{S^2}{p-c}-\frac{S}{p}\right)+r \end{align}
(21)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{1}{S}(p(p-b)(p-c)+p(p-a)(p-c)+p(p-a)(p-b)-(p-a)(p-b)(p-c))+r \end{align}
(22)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{1}{S}(p(p-c)(p-b+p-a)+(p-a)(p-b)(p-(p-c)))+r \end{align}
(23)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{1}{S}(p(p-c)(2p-a-b)+(p-a)(p-b)(p-p+c)))+r \end{align}
(24)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{1}{S}(p(p-c)c+(p^2-ap-bp+ab)c))+r \end{align}
(25)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{c}{S}(p(p-c)+p^2-ap-bp+ab))+r \end{align}
(26)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{c}{S}(p(p-c+p-a-b)+ab)+r \end{align}
(27)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{c}{S}(p(2p-(a+b+c))+ab)+r \end{align}
(28)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{c}{S}(p0+ab)+r \end{align}
(29)
\begin{align} r_a+r_b+r_c=\frac{abc}{S}+r \end{align}
(30)
\begin{equation} r_a+r_b+r_c=4R+r \end{equation}
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License