Sinus i cosinus
Korzystając z tego wzoru de Moivre'a możemy w stosunkowo prosty sposób wyznaczyć $\sin n\alpha$ oraz $\cos n\alpha$.
Zacznijmy od $\sin2\alpha$ i $\cos2\alpha$.
Ze wzoru de Moivre'a wiemy, że $z^2=|z|^2(\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha)$. Wiemy także, że $z^2=(|z|(\cos \alpha+i\sin \alpha))^2$. Zatem:
(1)Możemy zauważyć, że zarówno części rzeczywiste, jak i urojone dwóch równych liczby zespolonych także muszą być parami równe. Zatem:
(5)Warto zwrócić uwagę, że szukając na przykład wartości $\sin n\alpha$ możemy patrzeć tylko na sumę części urojonych liczby wymiernej, natomiast wyznaczając $\cos n\alpha$ zwracamy uwagę tylko na część rzeczywistą. Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
(6)Co w prosty sposób pozwala nam wyznaczyć wartość funkcji trygonometrycznych kąta nα
Zastosowanie liczb zespolonych w zadaniach:
Chciałbym tu pokazać przykład prostego zadania geometrycznego, które można rozwiązać przy pomocy liczb zespolonych. Mam nadzieję, że rozjaśni to trochę ideę ich użycia.
Zadanie:
Udowodnij, że w dowolnym równoległoboku zachodzi równość między podwojoną sumą kwadratów długości boków, a sumią kwadratów długości przekątnych:
(8)Jest oczywiście proste rozwiązanie, opierające się na twierdzeniu cosinusów, ale podejdziemy do niego zupełnie inaczej.
Na podstawie sumy i różnicy liczb zespolonych można zauważyć, że:
(9)gdzie $a$ i $b$ to dowolne liczby zespolone.
Przedstawiając te wartości na płaszczyźnie Gaussa zauważymy, że $|a+b|$ i $|a-b|$ to przekątne równoległoboku o bokach $a$ i $b$. Zatem:
(10)Wiemy, że dla dowolnej liczby zespolonej $z$ $|z|^2= zz\overline$, więc nasze równanie można zapisać tak:
(11)oznaczmy $a=x_a+y_ai$ oraz $b=x_b+y_bi$
(12)ze wzorów skróconego mnożenia i z definicji liczby $i$ ($i^2=-1$) wiemy, że:
(14)korzystając z równości $|z|^2=x^2+y^2$ (oczywiście jest to zapisane w ogólności, gdzie $z=x+yi$) otrzymujemy:
(17)Co kończy dowód.