Zastosowanie liczb zespolonych

Sinus i cosinus

Korzystając z tego wzoru de Moivre'a możemy w stosunkowo prosty sposób wyznaczyć $\sin n\alpha$ oraz $\cos n\alpha$.

Zacznijmy od $\sin2\alpha$ i $\cos2\alpha$.

Ze wzoru de Moivre'a wiemy, że $z^2=|z|^2(\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha)$. Wiemy także, że $z^2=(|z|(\cos \alpha+i\sin \alpha))^2$. Zatem:

(1)
\begin{align} |z|^2(\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha)=(|z|(\cos \alpha+i\sin \alpha))^2 \end{align}
(2)
\begin{align} |z|^2(\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha)=|z|^2(\cos \alpha+i\sin \alpha)^2 \end{align}
(3)
\begin{align} \cos 2\alpha+i\sin 2\alpha=\cos^2\alpha+2i\sin\alpha\cos\alpha+i^2\sin^2\alpha \end{align}
(4)
\begin{align} \cos 2\alpha+i\sin 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2i\sin\alpha\cos\alpha \end{align}

Możemy zauważyć, że zarówno części rzeczywiste, jak i urojone dwóch równych liczby zespolonych także muszą być parami równe. Zatem:

(5)
\begin{align} \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \wedge \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \end{align}

Warto zwrócić uwagę, że szukając na przykład wartości $\sin n\alpha$ możemy patrzeć tylko na sumę części urojonych liczby wymiernej, natomiast wyznaczając $\cos n\alpha$ zwracamy uwagę tylko na część rzeczywistą. Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:

(6)
\begin{align} \sin n\alpha=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k{2k+1 \choose n}\cos^{n-2k-1}\alpha\sin^{2k+1}\alpha \end{align}
(7)
\begin{align} \cos n\alpha=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k{2k \choose n}\cos^{n-2k}\alpha\sin^{2k}\alpha \end{align}

Co w prosty sposób pozwala nam wyznaczyć wartość funkcji trygonometrycznych kąta nα


czworokat_1.png

Zastosowanie liczb zespolonych w zadaniach:

Chciałbym tu pokazać przykład prostego zadania geometrycznego, które można rozwiązać przy pomocy liczb zespolonych. Mam nadzieję, że rozjaśni to trochę ideę ich użycia.

Zadanie:

Udowodnij, że w dowolnym równoległoboku zachodzi równość między podwojoną sumą kwadratów długości boków, a sumią kwadratów długości przekątnych:

(8)
\begin{equation} e^2+f^2=2(a^2+b^2) \end{equation}

Jest oczywiście proste rozwiązanie, opierające się na twierdzeniu cosinusów, ale podejdziemy do niego zupełnie inaczej.

Na podstawie sumy i różnicy liczb zespolonych można zauważyć, że:

(9)
\begin{align} |a+b|=|a|+|b| \wedge |a-b|=|a|-|b| \end{align}

gdzie $a$ i $b$ to dowolne liczby zespolone.

Przedstawiając te wartości na płaszczyźnie Gaussa zauważymy, że $|a+b|$ i $|a-b|$ to przekątne równoległoboku o bokach $a$ i $b$. Zatem:

(10)
\begin{align} e^2+f^2=2(a^2+b^2)\Leftrightarrow |a+b|^2 + |a-b|^2 = 2(|a|^2+|b|^2) \end{align}

Wiemy, że dla dowolnej liczby zespolonej $z$ $|z|^2= zz\overline$, więc nasze równanie można zapisać tak:

(11)
\begin{align} (a+b)(\overline{a+b}) + (a-b)(\overline{a-b})=2(|a|^2+|b|^2) \end{align}

oznaczmy $a=x_a+y_ai$ oraz $b=x_b+y_bi$

(12)
\begin{align} [(x_a+y_ai)+(x_b+y_bi)][\overline{(x_a+y_ai)+(x_b+y_bi)}]+[(x_a+y_ai)-(x_b+y_bi)][\overline{(x_a+y_ai)-(x_b+y_bi)}] = 2(|a|^2+|b|^2) \end{align}
(13)
\begin{equation} [(x_a+x_b)+(y_a+y_b)i][(x_a+x_b)-(y_a+y_b)i]+[(x_a-x_b)+(y_a-y_b)i][(x_a-x_b)-(y_a-y_b)i] = 2(|a|^2+|b|^2) \end{equation}

ze wzorów skróconego mnożenia i z definicji liczby $i$ ($i^2=-1$) wiemy, że:

(14)
\begin{equation} (x_a+x_b)^2+(y_a+y_b)^2+(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2= 2(|a|^2+|b|^2) \end{equation}
(15)
\begin{equation} x_a^2+2x_ax_b+x_b^2+y_a^2+2y_ay_b+y_b^2+x_a^2-2x_ax_b+x_b^2+y_a^2-2y_ay_b+y_b^2=2(|a|^2+|b|^2) \end{equation}
(16)
\begin{equation} 2(x_a^2+y_a^2+x_b^2+y_b^2)=2(|a|^2+|b|^2) \end{equation}

korzystając z równości $|z|^2=x^2+y^2$ (oczywiście jest to zapisane w ogólności, gdzie $z=x+yi$) otrzymujemy:

(17)
\begin{equation} 2(x_a^2+y_a^2+x_b^2+y_b^2)=2(x_a^2+y_a^2+x_b^2+y_b^2) \end{equation}

Co kończy dowód.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License